Номер 1170, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1170, страница 230.

Условие.

1170. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{x}{5} = 1 - \frac{y}{15}, \\ 2x - 5y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3m + 5n = 1, \\ \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4x - 3y = 1, \\ \frac{2x + 1}{6} = \frac{9 - 5y}{8}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3q = 4p - 7, \\ \frac{1 - 3q}{4} = \frac{4 - 2p}{3}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{5} = 1 - \frac{y}{15} \\ 2x - 5y = 0 \end{cases}$

1. Упростим первое уравнение. Для этого умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 15, то есть на 15:

$15 \cdot \frac{x}{5} = 15 \cdot 1 - 15 \cdot \frac{y}{15}$

$3x = 15 - y$

$3x + y = 15$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 3x + y = 15 \\ 2x - 5y = 0 \end{cases}$

3. Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:

$2x = 5y$

$x = \frac{5y}{2}$

4. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$3 \cdot (\frac{5y}{2}) + y = 15$

$\frac{15y}{2} + y = 15$

$\frac{15y}{2} + \frac{2y}{2} = 15$

$\frac{17y}{2} = 15$

$y = 15 \cdot \frac{2}{17} = \frac{30}{17}$

5. Теперь найдем $x$:

$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{30}{17} = \frac{5 \cdot 15}{17} = \frac{75}{17}$

Ответ: $(\frac{75}{17}; \frac{30}{17})$

б)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} = 1 \end{cases}$

1. Упростим второе уравнение, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20:

$20 \cdot \frac{m}{4} + 20 \cdot \frac{3n}{5} = 20 \cdot 1$

$5m + 4 \cdot 3n = 20$

$5m + 12n = 20$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ 5m + 12n = 20 \end{cases}$

3. Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $m$ стали противоположными:

$\begin{cases} 5(3m + 5n) = 5 \cdot 1 \\ -3(5m + 12n) = -3 \cdot 20 \end{cases}$

$\begin{cases} 15m + 25n = 5 \\ -15m - 36n = -60 \end{cases}$

4. Сложим два уравнения:

$(15m - 15m) + (25n - 36n) = 5 - 60$

$-11n = -55$

$n = 5$

5. Подставим значение $n = 5$ в первое исходное уравнение:

$3m + 5(5) = 1$

$3m + 25 = 1$

$3m = 1 - 25$

$3m = -24$

$m = -8$

Ответ: $(-8; 5)$

в)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ \frac{2x + 1}{6} = \frac{9 - 5y}{8} \end{cases}$

1. Упростим второе уравнение, используя основное свойство пропорции (или умножив на НОК(6, 8) = 24):

$8(2x + 1) = 6(9 - 5y)$

$16x + 8 = 54 - 30y$

Перенесем переменные в левую часть, а числа в правую:

$16x + 30y = 54 - 8$

$16x + 30y = 46$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$8x + 15y = 23$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases}$

3. Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$\begin{cases} -2(4x - 3y) = -2 \cdot 1 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases}$

$\begin{cases} -8x + 6y = -2 \\ 8x + 15y = 23 \end{cases}$

4. Сложим два уравнения:

$(-8x + 8x) + (6y + 15y) = -2 + 23$

$21y = 21$

$y = 1$

5. Подставим значение $y = 1$ в первое исходное уравнение:

$4x - 3(1) = 1$

$4x - 3 = 1$

$4x = 4$

$x = 1$

Ответ: $(1; 1)$

г)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3q = 4p - 7 \\ \frac{1 - 3q}{4} = \frac{4 - 2p}{3} \end{cases}$

1. Приведем оба уравнения к стандартному виду $Ap + Bq = C$.

Первое уравнение:

$3q = 4p - 7 \implies 4p - 3q = 7$

Второе уравнение (используем свойство пропорции):

$3(1 - 3q) = 4(4 - 2p)$

$3 - 9q = 16 - 8p$

$8p - 9q = 16 - 3$

$8p - 9q = 13$

2. Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 4p - 3q = 7 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases}$

3. Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -3:

$\begin{cases} -3(4p - 3q) = -3 \cdot 7 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases}$

$\begin{cases} -12p + 9q = -21 \\ 8p - 9q = 13 \end{cases}$

4. Сложим два уравнения:

$(-12p + 8p) + (9q - 9q) = -21 + 13$

$-4p = -8$

$p = 2$

5. Подставим значение $p = 2$ в первое преобразованное уравнение $4p - 3q = 7$:

$4(2) - 3q = 7$

$8 - 3q = 7$

$-3q = 7 - 8$

$-3q = -1$

$q = \frac{1}{3}$

Ответ: $(2; \frac{1}{3})$