Номер 1167, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1167, страница 229.

Условие.

1167. При каких значениях c система уравнений

$\begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2, \\ 5x + 2y = c \end{cases}$

не имеет решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы найти значения параметра $c$, при которых данная система уравнений не имеет решений, проанализируем её структуру. Исходная система:

$ \begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2 \\ 5x + 2y = c \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение системы так, чтобы его коэффициенты при $x$ и $y$ были сопоставимы с коэффициентами второго уравнения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5), чтобы избавиться от дробей.

$10 \cdot (\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y) = 10 \cdot 2$

$\frac{10 \cdot 1}{2}x + \frac{10 \cdot 1}{5}y = 20$

$5x + 2y = 20$

После преобразования система уравнений принимает следующий вид:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 20 \\ 5x + 2y = c \end{cases} $

Система не имеет решений тогда и только тогда, когда её уравнения противоречат друг другу. В полученной системе левые части обоих уравнений полностью совпадают и равны выражению $5x + 2y$. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают прямые с одинаковым угловым коэффициентом, то есть они параллельны.

• Если их правые части также равны, то есть $c = 20$, то уравнения становятся идентичными. Это означает, что прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений (любая точка на прямой $5x + 2y = 20$).
• Если же их правые части не равны, то есть $c \ne 20$, то система становится противоречивой. Выражение $5x + 2y$ не может одновременно равняться двум разным числам (20 и $c$). В этом случае прямые параллельны, но не совпадают, следовательно, у них нет общих точек, и система не имеет решений.

Таким образом, условием отсутствия решений для данной системы является $c \ne 20$.

Ответ: система не имеет решений при $c \ne 20$.