Номер 1162, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1162, страница 228.

Условие.

1162. Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} y + 3x = 0, \\ x - y = 4, \\ x + y = -2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y = 1, \\ y - x = 3, \\ 2x + y = 0. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Каждое уравнение в данной системе является линейным, следовательно, его график — это прямая линия. Решением системы будет точка пересечения всех трех прямых.

Дана система уравнений:
$y + 3x = 0$
$x - y = 4$
$x + y = -2$

Для удобства построения приведем каждое уравнение к виду функции $y = kx + b$:

1. Первое уравнение: $y + 3x = 0 \implies y = -3x$.
Это прямая пропорциональность, график проходит через начало координат (0, 0). Для построения прямой нужна еще одна точка. Возьмем $x = 1$, тогда $y = -3 \cdot 1 = -3$. Получаем вторую точку (1, -3).

2. Второе уравнение: $x - y = 4 \implies -y = 4 - x \implies y = x - 4$.
Для построения этой прямой найдем две точки.
При $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка (0, -4).
При $y = 0$, $0 = x - 4 \implies x = 4$. Точка (4, 0).

3. Третье уравнение: $x + y = -2 \implies y = -x - 2$.
Для построения этой прямой также найдем две точки.
При $x = 0$, $y = -0 - 2 = -2$. Точка (0, -2).
При $y = 0$, $0 = -x - 2 \implies x = -2$. Точка (-2, 0).

Теперь построим все три прямые на одной координатной плоскости. Мы увидим, что все три графика пересекаются в одной точке. Чтобы найти ее точные координаты, решим систему из любых двух уравнений, а затем проверим, удовлетворяет ли найденная точка третьему уравнению.

Возьмем второе и третье уравнения:
$y = x - 4$
$y = -x - 2$
Приравняем правые части: $x - 4 = -x - 2$.
$2x = 2$
$x = 1$
Теперь найдем $y$, подставив $x=1$ в любое из этих двух уравнений: $y = 1 - 4 = -3$.
Точка пересечения двух прямых — (1, -3).

Проверим, принадлежит ли эта точка графику первого уравнения $y = -3x$:
$-3 = -3 \cdot 1$
$-3 = -3$
Равенство верно. Следовательно, точка (1, -3) является точкой пересечения всех трех прямых и решением системы.

Ответ: (1, -3).

б)

Аналогично предыдущему пункту, решим систему графически, построив графики трех линейных уравнений.

Дана система уравнений:
$x + y = 1$
$y - x = 3$
$2x + y = 0$

Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$:

1. Первое уравнение: $x + y = 1 \implies y = -x + 1$.
Найдем две точки для построения.
При $x = 0$, $y = 1$. Точка (0, 1).
При $y = 0$, $0 = -x + 1 \implies x = 1$. Точка (1, 0).

2. Второе уравнение: $y - x = 3 \implies y = x + 3$.
Найдем две точки для построения.
При $x = 0$, $y = 3$. Точка (0, 3).
При $y = 0$, $0 = x + 3 \implies x = -3$. Точка (-3, 0).

3. Третье уравнение: $2x + y = 0 \implies y = -2x$.
График проходит через начало координат (0, 0). Найдем вторую точку: при $x = -1$, $y = -2(-1) = 2$. Точка (-1, 2).

Построим графики на координатной плоскости. Все три прямые пересекаются в одной точке. Найдем ее координаты аналитически для точности.

Возьмем первое и второе уравнения:
$y = -x + 1$
$y = x + 3$
Приравняем правые части: $-x + 1 = x + 3$.
$-2 = 2x$
$x = -1$
Теперь найдем $y$, подставив $x=-1$ в уравнение $y = x + 3$: $y = -1 + 3 = 2$.
Точка пересечения двух прямых — (-1, 2).

Проверим, принадлежит ли эта точка графику третьего уравнения $y = -2x$:
$2 = -2 \cdot (-1)$
$2 = 2$
Равенство верно. Таким образом, точка (-1, 2) является общей для всех трех графиков.

Ответ: (-1, 2).