Страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1156. Постройте график уравнения:

а) $y = |x|$;

б) $y = -|x|$.

Для построения графика уравнения $y = |x|$ необходимо раскрыть модуль. По определению абсолютной величины (модуля): $|x| = x$, если $x \geq 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$. Таким образом, мы можем разбить построение графика на два случая.

1. При $x \geq 0$ уравнение принимает вид $y = x$. Графиком этой функции является прямая, которая служит биссектрисой первого координатного угла. Так как мы рассматриваем только неотрицательные значения $x$, мы строим луч, начинающийся в точке (0, 0) и проходящий через точки (1, 1), (2, 2) и т.д.

2. При $x < 0$ уравнение принимает вид $y = -x$. Графиком этой функции является прямая, которая служит биссектрисой второго координатного угла. Так как мы рассматриваем только отрицательные значения $x$, мы строим луч, начинающийся в точке (0, 0) и проходящий через точки (-1, 1), (-2, 2) и т.д.

Для построения можно использовать несколько точек. Составим таблицу значений:
Если $x = -3$, то $y = |-3| = 3$.
Если $x = -1$, то $y = |-1| = 1$.
Если $x = 0$, то $y = |0| = 0$.
Если $x = 1$, то $y = |1| = 1$.
Если $x = 3$, то $y = |3| = 3$.

Объединяя эти два луча, получаем итоговый график. Он представляет собой "угол" или "галочку", вершина которого находится в начале координат, а ветви направлены вверх и симметричны относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: График уравнения $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: луча $y=x$ при $x \geq 0$ и луча $y=-x$ при $x < 0$.

Для построения графика уравнения $y = -|x|$ мы также используем определение модуля, как и в предыдущем пункте.

1. При $x \geq 0$ уравнение принимает вид $y = -x$. Это луч, который начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, -1), (2, -2) и т.д., располагаясь в четвертой координатной четверти.

2. При $x < 0$ уравнение принимает вид $y = -(-x)$, что равносильно $y = x$. Это луч, который начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (-1, -1), (-2, -2) и т.д., располагаясь в третьей координатной четверти.

Составим таблицу значений для нескольких точек:
Если $x = -3$, то $y = -|-3| = -3$.
Если $x = -1$, то $y = -|-1| = -1$.
Если $x = 0$, то $y = -|0| = 0$.
Если $x = 1$, то $y = -|1| = -1$.
Если $x = 3$, то $y = -|3| = -3$.

График уравнения $y = -|x|$ представляет собой график $y = |x|$, отраженный симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox). Он имеет форму "перевернутого угла" с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которого направлены вниз.

Ответ: График уравнения $y = -|x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: луча $y=-x$ при $x \geq 0$ и луча $y=x$ при $x < 0$.

1158. Докажите, что прямые $x + y = 5$, $2x - y = 16$ и $x + 2y = 3$ пересекаются в одной точке. Каковы координаты этой точки?

Для того чтобы доказать, что данные три прямые пересекаются в одной точке, необходимо найти точку пересечения любых двух из них и затем проверить, принадлежит ли эта точка третьей прямой. Если принадлежит, то все три прямые пересекаются в этой точке, и ее координаты будут являться ответом на второй вопрос.

Возьмем первые два уравнения прямых и решим их как систему:

$\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 16\end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы избавиться от переменной $y$:

$(x + y) + (2x - y) = 5 + 16$

$3x = 21$

$x = \frac{21}{3} = 7$

Теперь подставим найденное значение $x=7$ в первое уравнение $x + y = 5$, чтобы найти $y$:

$7 + y = 5$

$y = 5 - 7 = -2$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых — $(7, -2)$.

Теперь необходимо доказать, что эта точка принадлежит и третьей прямой, уравнение которой $x + 2y = 3$. Подставим координаты точки $(7, -2)$ в это уравнение:

$7 + 2 \cdot (-2) = 3$

$7 - 4 = 3$

$3 = 3$

Полученное верное равенство доказывает, что точка $(7, -2)$ лежит и на третьей прямой. Следовательно, все три прямые пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(7, -2)$.

Ответ: Прямые пересекаются в одной точке с координатами $(7, -2)$.

1160. При каком значении $b$ прямые $bx + 3y = 10$ и $x - 2y = 4$ пересекаются в точке, принадлежащей оси $x$?

Условие, что прямые $bx + 3y = 10$ и $x - 2y = 4$ пересекаются в точке, принадлежащей оси $x$, означает, что ордината (координата $y$) этой точки пересечения равна нулю.

Чтобы найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения, подставим $y = 0$ во второе уравнение, так как оно не содержит неизвестный параметр $b$:

$x - 2 \cdot 0 = 4$

$x = 4$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(4, 0)$.

Так как эта точка принадлежит и первой прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению $bx + 3y = 10$. Подставим $x = 4$ и $y = 0$ в это уравнение, чтобы найти значение $b$:

$b \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 10$

$4b + 0 = 10$

$4b = 10$

$b = \frac{10}{4} = 2.5$

Ответ: $2.5$

1162. Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} y + 3x = 0, \\ x - y = 4, \\ x + y = -2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y = 1, \\ y - x = 3, \\ 2x + y = 0. \end{cases} $

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Каждое уравнение в данной системе является линейным, следовательно, его график — это прямая линия. Решением системы будет точка пересечения всех трех прямых.

Дана система уравнений:
$y + 3x = 0$
$x - y = 4$
$x + y = -2$

Для удобства построения приведем каждое уравнение к виду функции $y = kx + b$:

1. Первое уравнение: $y + 3x = 0 \implies y = -3x$.
Это прямая пропорциональность, график проходит через начало координат (0, 0). Для построения прямой нужна еще одна точка. Возьмем $x = 1$, тогда $y = -3 \cdot 1 = -3$. Получаем вторую точку (1, -3).

2. Второе уравнение: $x - y = 4 \implies -y = 4 - x \implies y = x - 4$.
Для построения этой прямой найдем две точки.
При $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка (0, -4).
При $y = 0$, $0 = x - 4 \implies x = 4$. Точка (4, 0).

3. Третье уравнение: $x + y = -2 \implies y = -x - 2$.
Для построения этой прямой также найдем две точки.
При $x = 0$, $y = -0 - 2 = -2$. Точка (0, -2).
При $y = 0$, $0 = -x - 2 \implies x = -2$. Точка (-2, 0).

Теперь построим все три прямые на одной координатной плоскости. Мы увидим, что все три графика пересекаются в одной точке. Чтобы найти ее точные координаты, решим систему из любых двух уравнений, а затем проверим, удовлетворяет ли найденная точка третьему уравнению.

Возьмем второе и третье уравнения:
$y = x - 4$
$y = -x - 2$
Приравняем правые части: $x - 4 = -x - 2$.
$2x = 2$
$x = 1$
Теперь найдем $y$, подставив $x=1$ в любое из этих двух уравнений: $y = 1 - 4 = -3$.
Точка пересечения двух прямых — (1, -3).

Проверим, принадлежит ли эта точка графику первого уравнения $y = -3x$:
$-3 = -3 \cdot 1$
$-3 = -3$
Равенство верно. Следовательно, точка (1, -3) является точкой пересечения всех трех прямых и решением системы.

Ответ: (1, -3).

б)

Аналогично предыдущему пункту, решим систему графически, построив графики трех линейных уравнений.

Дана система уравнений:
$x + y = 1$
$y - x = 3$
$2x + y = 0$

Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$:

1. Первое уравнение: $x + y = 1 \implies y = -x + 1$.
Найдем две точки для построения.
При $x = 0$, $y = 1$. Точка (0, 1).
При $y = 0$, $0 = -x + 1 \implies x = 1$. Точка (1, 0).

2. Второе уравнение: $y - x = 3 \implies y = x + 3$.
Найдем две точки для построения.
При $x = 0$, $y = 3$. Точка (0, 3).
При $y = 0$, $0 = x + 3 \implies x = -3$. Точка (-3, 0).

3. Третье уравнение: $2x + y = 0 \implies y = -2x$.
График проходит через начало координат (0, 0). Найдем вторую точку: при $x = -1$, $y = -2(-1) = 2$. Точка (-1, 2).

Построим графики на координатной плоскости. Все три прямые пересекаются в одной точке. Найдем ее координаты аналитически для точности.

Возьмем первое и второе уравнения:
$y = -x + 1$
$y = x + 3$
Приравняем правые части: $-x + 1 = x + 3$.
$-2 = 2x$
$x = -1$
Теперь найдем $y$, подставив $x=-1$ в уравнение $y = x + 3$: $y = -1 + 3 = 2$.
Точка пересечения двух прямых — (-1, 2).

Проверим, принадлежит ли эта точка графику третьего уравнения $y = -2x$:
$2 = -2 \cdot (-1)$
$2 = 2$
Равенство верно. Таким образом, точка (-1, 2) является общей для всех трех графиков.

Ответ: (-1, 2).

1164. (Для работы в парах.) Подберите какое-либо линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением $10x + 5y = 1$ составило бы систему: а) имеющую одно решение; б) имеющую бесконечно много решений; в) не имеющую решений.

1) Выполните совместно задание а) и решите составленную систему.

2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

Исходное уравнение: $10x + 5y = 1$.

Для анализа системы двух линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ используются соотношения между их коэффициентами:

• Одно решение: прямые пересекаются. Условие: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
• Бесконечно много решений: прямые совпадают. Условие: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
• Нет решений: прямые параллельны и не совпадают. Условие: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

В нашем случае $a_1 = 10$, $b_1 = 5$, $c_1 = 1$.

Чтобы система имела одно решение, нам нужно подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ так, чтобы выполнялось условие $\frac{10}{a_2} \neq \frac{5}{b_2}$. Это равносильно условию $10b_2 \neq 5a_2$ или $2b_2 \neq a_2$.

Можно выбрать множество вариантов. Возьмем простое уравнение, например, $x + y = 3$. В этом случае $a_2=1, b_2=1, c_2=3$.

Проверим условие: $\frac{10}{1} \neq \frac{5}{1}$, то есть $10 \neq 5$. Условие выполняется.

Теперь решим составленную систему уравнений:

$\begin{cases} 10x + 5y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$10x + 5(3 - x) = 1$

$10x + 15 - 5x = 1$

$5x = 1 - 15$

$5x = -14$

$x = -\frac{14}{5} = -2.8$

Теперь найдем $y$:

$y = 3 - x = 3 - (-\frac{14}{5}) = \frac{15}{5} + \frac{14}{5} = \frac{29}{5} = 5.8$

Система имеет единственное решение $(-2.8; 5.8)$.

Ответ: В качестве второго уравнения можно взять $x + y = 3$. Решение этой системы: $x = -2.8$, $y = 5.8$.

Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому, то есть должно выполняться условие: $\frac{10}{a_2} = \frac{5}{b_2} = \frac{1}{c_2}$.

Самый простой способ получить такое уравнение — умножить исходное уравнение $10x + 5y = 1$ на любое число, не равное нулю. Например, умножим на 2:

$2 \cdot (10x + 5y = 1) \implies 20x + 10y = 2$

Здесь $a_2 = 20, b_2 = 10, c_2 = 2$. Проверим соотношение:

$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

Так как $\frac{10}{20} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, условие выполняется.

Ответ: В качестве второго уравнения можно взять $20x + 10y = 2$.

Чтобы система не имела решений, коэффициенты при переменных должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет. Условие: $\frac{10}{a_2} = \frac{5}{b_2} \neq \frac{1}{c_2}$.

Мы можем взять левую часть уравнения такую же, как в исходном, а изменить только свободный член. Например, возьмем уравнение $10x + 5y = 2$.

В этом случае $a_2 = 10, b_2 = 5, c_2 = 2$. Проверим соотношение:

$\frac{10}{10} = 1$

$\frac{5}{5} = 1$

$\frac{1}{2}$

Так как $\frac{10}{10} = \frac{5}{5} \neq \frac{1}{2}$ (то есть $1=1\neq\frac{1}{2}$), условие выполняется.

Ответ: В качестве второго уравнения можно взять $10x + 5y = 2$.

1155. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика уравнения $(x + 2)(y + 3) = 0$ с осью $x$; с осью $y$.

с осью x: Чтобы найти координаты точки пересечения графика с осью $x$ (осью абсцисс), необходимо учесть, что у любой точки на этой оси ордината (координата $y$) равна нулю. Подставим $y = 0$ в исходное уравнение $(x + 2)(y + 3) = 0$:
$(x + 2)(0 + 3) = 0$
$3(x + 2) = 0$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Таким образом, точка пересечения с осью $x$ имеет координаты $(-2; 0)$.
Ответ: $(-2; 0)$.

с осью y: Чтобы найти координаты точки пересечения графика с осью $y$ (осью ординат), необходимо учесть, что у любой точки на этой оси абсцисса (координата $x$) равна нулю. Подставим $x = 0$ в исходное уравнение $(x + 2)(y + 3) = 0$:
$(0 + 2)(y + 3) = 0$
$2(y + 3) = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$y + 3 = 0$
$y = -3$
Таким образом, точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0; -3)$.
Ответ: $(0; -3)$.

1157. Является ли решением системы уравнений

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 16, \\ a^2 + 8a + b^2 - 8b + 16 = 0 \end{cases} $

пара чисел:

a) $a = 0, b = 4;$

б) $a = 0, b = -4;$

в) $a = -4, b = 0?$

Чтобы определить, является ли пара чисел решением системы уравнений, нужно подставить эти числа вместо переменных в каждое уравнение системы. Если в результате получаются верные равенства для всех уравнений, то пара является решением.

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 16, \\ a^2 + 8a + b^2 - 8b + 16 = 0 \end{cases} $

а) Проверим пару чисел $a = 0, b = 4$.

Подставим значения в первое уравнение:

$0^2 + 4^2 = 0 + 16 = 16$

$16 = 16$ (Верно)

Подставим значения во второе уравнение:

$0^2 + 8 \cdot 0 + 4^2 - 8 \cdot 4 + 16 = 0 + 0 + 16 - 32 + 16 = 0$

$32 - 32 = 0$

$0 = 0$ (Верно)

Оба уравнения обратились в верные равенства, следовательно, пара чисел является решением системы.

Ответ: да, является.

б) Проверим пару чисел $a = 0, b = -4$.

Подставим значения в первое уравнение:

$0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16$

$16 = 16$ (Верно)

Подставим значения во второе уравнение:

$0^2 + 8 \cdot 0 + (-4)^2 - 8 \cdot (-4) + 16 = 0 + 0 + 16 + 32 + 16 = 64$

$64 = 0$ (Неверно)

Так как второе равенство неверно, пара чисел не является решением системы.

Ответ: нет, не является.

в) Проверим пару чисел $a = -4, b = 0$.

Подставим значения в первое уравнение:

$(-4)^2 + 0^2 = 16 + 0 = 16$

$16 = 16$ (Верно)

Подставим значения во второе уравнение:

$(-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 0^2 - 8 \cdot 0 + 16 = 16 - 32 + 0 - 0 + 16 = 0$

$32 - 32 = 0$

$0 = 0$ (Верно)

Оба уравнения обратились в верные равенства, следовательно, пара чисел является решением системы.

Ответ: да, является.

1159. При каком значении $a$ прямые $5x - 2y = 3$ и $x + y = a$ пересекаются в точке, принадлежащей оси $y$?

По условию задачи, две прямые, заданные уравнениями $5x - 2y = 3$ и $x + y = a$, должны пересекаться в точке, которая принадлежит оси $y$.

Точки, принадлежащие оси $y$ (оси ординат), имеют абсциссу (координату $x$), равную нулю. Следовательно, в точке пересечения должно выполняться условие $x = 0$.

Поскольку точка пересечения принадлежит обеим прямым, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Мы можем найти ординату ($y$) точки пересечения, подставив $x = 0$ в первое уравнение, так как оно не содержит неизвестного параметра $a$:

$5x - 2y = 3$
$5 \cdot 0 - 2y = 3$
$0 - 2y = 3$
$-2y = 3$
$y = -\frac{3}{2}$
$y = -1.5$

Таким образом, мы определили, что точка пересечения имеет координаты $(0; -1.5)$.

Теперь, чтобы найти значение параметра $a$, подставим координаты этой точки $(x=0, y=-1.5)$ во второе уравнение $x + y = a$:

$0 + (-1.5) = a$
$a = -1.5$

Следовательно, при $a = -1.5$ прямые пересекаются в точке $(0; -1.5)$, которая лежит на оси $y$.

Ответ: $a = -1.5$.

1161. При каком значении $k$ прямая $y = kx - 4$ проходит через точку пересечения прямых $y = 2x - 5$ и $y = -x + 1$?

Для того чтобы прямая $y = kx - 4$ проходила через точку пересечения прямых $y = 2x - 5$ и $y = -x + 1$, необходимо сначала найти координаты этой точки.

1. Нахождение точки пересечения прямых

Точка пересечения является общим решением для уравнений обеих прямых. Приравняем правые части уравнений $y = 2x - 5$ и $y = -x + 1$, так как в точке пересечения их значения $y$ совпадают:

$2x - 5 = -x + 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x + x = 1 + 5$

$3x = 6$

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x = 2$ в любое из двух исходных уравнений, чтобы найти соответствующее значение $y$. Например, в уравнение $y = -x + 1$:

$y = -(2) + 1$

$y = -1$

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты $(2; -1)$.

2. Нахождение значения k

Теперь нам нужно найти такое значение $k$, при котором прямая $y = kx - 4$ будет проходить через точку с координатами $(2; -1)$. Для этого подставим значения $x = 2$ и $y = -1$ в уравнение этой прямой:

$-1 = k \cdot 2 - 4$

Решим полученное уравнение относительно $k$:

$-1 + 4 = 2k$

$3 = 2k$

$k = \frac{3}{2}$

$k = 1.5$

Ответ: $k = 1.5$.

1163. Имеет ли система решения и если имеет, то сколько:

а) $\begin{cases} 2x + 5y = 17, \\ 4x - 10y = 45; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{15} = 1, \\ 6x - 2y = 35; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 0,2x - 5y = 11, \\ -x + 25y = -55; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10, \\ 9x - 2y = 1? \end{cases}$

а) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 17 \\ 4x - 10y = 45 \end{cases} $

Чтобы определить количество решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $, сравним отношения коэффициентов при переменных.

Коэффициенты первого уравнения: $a_1 = 2$, $b_1 = 5$.

Коэффициенты второго уравнения: $a_2 = 4$, $b_2 = -10$.

Найдем отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} $

Так как $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ ($ \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2} $), графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.

б) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{15} = 1 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив обе его части на 15, чтобы избавиться от дробей:

$ 15 \cdot (\frac{x}{5} - \frac{y}{15}) = 15 \cdot 1 $

$ 3x - y = 15 $

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 3x - y = 15 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} $

Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ ($ \frac{1}{2} \neq \frac{3}{7} $), графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

в) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 0,2x - 5y = 11 \\ -x + 25y = -55 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{0,2}{-1} = -0,2 = -\frac{1}{5} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{11}{-55} = -\frac{1}{5} $

Так как $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, графики уравнений (прямые) совпадают. Это означает, что одно уравнение является следствием другого (второе уравнение можно получить, умножив первое на -5). Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

г) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + \frac{1}{3}y = 10 \\ 9x - 2y = 1 \end{cases} $

Сравним отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{1/3}{-2} = -\frac{1}{6} $

Так как $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ ($ \frac{1}{3} \neq -\frac{1}{6} $), графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.