Страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1104. Старинная задача. Ослица и мул шли вместе, нагруженные равными по весу мешками. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Что ты жалуешься, — сказал мул, — если ты дашь мне твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я тебе дам один мешок, то наши грузы сравняются». Сколько мешков нёс каждый?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим количество мешков, которое несла ослица, как $x$, а количество мешков, которое нёс мул, — как $y$.

Рассмотрим два условия, которые озвучил мул, и переведем их на язык математики.

1. «Если ты дашь мне твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей». Если ослица отдаст один мешок, у неё останется $x - 1$ мешок. У мула, соответственно, станет $y + 1$ мешок. По условию, ноша мула будет в два раза больше ноши ослицы. Это можно записать в виде уравнения: $y + 1 = 2(x - 1)$

2. «Если я тебе дам один мешок, то наши грузы сравняются». Если мул отдаст один мешок, у него останется $y - 1$ мешок. У ослицы станет $x + 1$ мешок. По условию, их ноши станут равными. Получаем второе уравнение: $y - 1 = x + 1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} y + 1 = 2(x - 1) \\ y - 1 = x + 1 \end{cases}$

Для решения системы выразим $y$ из второго уравнения:

$y = x + 1 + 1$

$y = x + 2$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(x + 2) + 1 = 2(x - 1)$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$x + 3 = 2x - 2$

$3 + 2 = 2x - x$

$x = 5$

Итак, ослица несла 5 мешков. Теперь, зная $x$, найдем $y$:

$y = x + 2 = 5 + 2 = 7$

Следовательно, мул нёс 7 мешков.

Проверим найденные значения. Если у ослицы 5 мешков, а у мула 7: - Если ослица отдаст 1 мешок, у нее станет 4, а у мула 8. $8 = 2 \times 4$. Условие выполняется. - Если мул отдаст 1 мешок, у него станет 6, и у ослицы станет 6. $6 = 6$. Условие выполняется.

Ответ: Ослица несла 5 мешков, а мул нёс 7 мешков.

1106. Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад — в 5 раз?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $b$ — это текущий возраст брата, а $s$ — текущий возраст сестры.

Исходя из первого условия, 2 года назад брат был в 2 раза старше сестры. Возраст брата 2 года назад был равен $b - 2$, а возраст сестры — $s - 2$. Получаем первое уравнение:

$b - 2 = 2 \cdot (s - 2)$

Согласно второму условию, 8 лет назад брат был в 5 раз старше сестры. Возраст брата 8 лет назад был $b - 8$, а сестры — $s - 8$. Получаем второе уравнение:

$b - 8 = 5 \cdot (s - 8)$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b - 2 = 2(s - 2) \\ b - 8 = 5(s - 8) \end{cases}$

Сначала упростим оба уравнения, раскрыв скобки:

$\begin{cases} b - 2 = 2s - 4 \\ b - 8 = 5s - 40 \end{cases}$

Теперь выразим переменную $b$ из первого уравнения:

$b = 2s - 4 + 2$

$b = 2s - 2$

Подставим полученное выражение для $b$ во второе уравнение системы:

$(2s - 2) - 8 = 5s - 40$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти возраст сестры $s$:

$2s - 10 = 5s - 40$

Перенесем слагаемые с $s$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$40 - 10 = 5s - 2s$

$30 = 3s$

$s = \frac{30}{3}$

$s = 10$

Таким образом, мы выяснили, что сестре сейчас 10 лет.

Чтобы найти возраст брата $b$, подставим найденное значение $s = 10$ в выражение $b = 2s - 2$:

$b = 2 \cdot 10 - 2$

$b = 20 - 2$

$b = 18$

Следовательно, брату сейчас 18 лет.

Выполним проверку:

1. Два года назад: брату было $18 - 2 = 16$ лет, а сестре $10 - 2 = 8$ лет. $16$ в два раза больше, чем $8$. Условие выполняется.

2. Восемь лет назад: брату было $18 - 8 = 10$ лет, а сестре $10 - 8 = 2$ года. $10$ в пять раз больше, чем $2$. Условие также выполняется.

Ответ: брату 18 лет, сестре 10 лет.

1108. За 4 ч езды на автомашине и 7 ч езды на поезде туристы проехали 640 км. Какова скорость поезда, если она на 5 км/ч больше скорости автомашины?

Для решения данной задачи составим уравнение. Пусть скорость поезда равна $x$ км/ч.

Из условия известно, что скорость поезда на 5 км/ч больше скорости автомашины. Следовательно, скорость автомашины можно выразить как $(x - 5)$ км/ч.

Расстояние, которое туристы проехали на автомашине за 4 часа, равно произведению скорости на время:$S_1 = 4 \cdot (x - 5)$ км.

Расстояние, которое туристы проехали на поезде за 7 часов, равно:$S_2 = 7 \cdot x$ км.

Общее расстояние, пройденное туристами, составляет 640 км. Это сумма расстояний, пройденных на автомашине и на поезде. Составим уравнение:$S_1 + S_2 = 640$$4(x - 5) + 7x = 640$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

Раскроем скобки:$4x - 20 + 7x = 640$

Приведем подобные слагаемые:$11x - 20 = 640$

Перенесем -20 в правую часть уравнения с противоположным знаком:$11x = 640 + 20$$11x = 660$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 11:$x = \frac{660}{11}$$x = 60$

Таким образом, скорость поезда составляет 60 км/ч.

Проверим правильность решения:

• Скорость поезда: $60$ км/ч.
• Скорость автомашины: $60 - 5 = 55$ км/ч.
• Расстояние на автомашине: $4 \text{ ч} \times 55 \text{ км/ч} = 220$ км.
• Расстояние на поезде: $7 \text{ ч} \times 60 \text{ км/ч} = 420$ км.
• Общее расстояние: $220 \text{ км} + 420 \text{ км} = 640$ км.

Все сходится с условиями задачи.

Ответ: скорость поезда равна 60 км/ч.

1110. Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 280 км, выходят одновременно два автомобиля. Если автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча произойдёт через 2 ч. Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из $A$, догонит автомобиль, вышедший из $B$, через 14 ч. Какова скорость каждого автомобиля?

Для решения задачи обозначим скорость автомобиля, выехавшего из пункта А, как $v_A$ (в км/ч), а скорость автомобиля, выехавшего из пункта B, — как $v_B$ (в км/ч). Расстояние между пунктами А и В составляет $S = 280$ км.

1. Движение навстречу друг другу.

Когда автомобили движутся навстречу друг другу, их общая скорость, называемая скоростью сближения, равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_A + v_B$. Они встретятся через время $t_1 = 2$ ч. За это время вместе они преодолеют все расстояние $S$. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, составляем первое уравнение: $S = (v_A + v_B) \cdot t_1$ Подставляем известные значения: $280 = (v_A + v_B) \cdot 2$ Отсюда находим сумму скоростей: $v_A + v_B = \frac{280}{2}$ $v_A + v_B = 140$

2. Движение в одном направлении.

Когда автомобили движутся в одном направлении, автомобиль из А догоняет автомобиль из В. Это значит, что $v_A > v_B$. Скорость, с которой автомобиль из А догоняет автомобиль из В (скорость сближения), равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_A - v_B$. Чтобы догнать второй автомобиль, первому нужно преодолеть начальное расстояние между ними, то есть $S = 280$ км. Время, за которое это произойдет, составляет $t_2 = 14$ ч. Составляем второе уравнение: $S = (v_A - v_B) \cdot t_2$ Подставляем известные значения: $280 = (v_A - v_B) \cdot 14$ Отсюда находим разность скоростей: $v_A - v_B = \frac{280}{14}$ $v_A - v_B = 20$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} v_A + v_B = 140 \\ v_A - v_B = 20 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $v_A$: $(v_A + v_B) + (v_A - v_B) = 140 + 20$ $2v_A = 160$ $v_A = \frac{160}{2}$ $v_A = 80$ (км/ч)

Теперь подставим найденное значение $v_A$ в первое уравнение, чтобы найти $v_B$: $80 + v_B = 140$ $v_B = 140 - 80$ $v_B = 60$ (км/ч)

Ответ: скорость автомобиля, вышедшего из пункта А, равна 80 км/ч, а скорость автомобиля, вышедшего из пункта В, — 60 км/ч.

1112. Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь — за 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_л$ – собственная скорость лодки (в стоячей воде) в км/ч.
• $v_т$ – скорость течения реки в км/ч.
• $v_{по~теч.}$ – скорость лодки по течению в км/ч, $v_{по~теч.} = v_л + v_т$.
• $v_{против~теч.}$ – скорость лодки против течения в км/ч, $v_{против~теч.} = v_л - v_т$.
• $S$ – расстояние между пристанями в км.

1. Нахождение скорости лодки по течению.
Из условия известно, что лодка проходит 70 км по течению за 3,5 часа. Используя формулу скорости $v = S/t$, найдем скорость лодки по течению:
$v_{по~теч.} = \frac{70 \text{ км}}{3.5 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч}$.

2. Нахождение расстояния между пристанями.
Лодка проходит путь от одной пристани до другой по течению за 4 часа. Зная ее скорость по течению, можем найти это расстояние:
$S = v_{по~теч.} \times t = 20 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 80 \text{ км}$.

3. Нахождение скорости лодки против течения.
Обратный путь, равный 80 км, лодка проходит за 5 часов. Найдем ее скорость против течения:
$v_{против~теч.} = \frac{S}{t} = \frac{80 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$.

4. Нахождение собственной скорости лодки.
Мы получили систему из двух уравнений:
$v_л + v_т = 20$
$v_л - v_т = 16$
Собственную скорость лодки можно найти как среднее арифметическое скорости по течению и скорости против течения. Сложим эти два уравнения:
$(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = 20 + 16$
$2v_л = 36$
$v_л = \frac{36}{2} = 18 \text{ км/ч}$.

Ответ: 18 км/ч.

1103. Основание равнобедренного треугольника на 7 см больше его боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 43 см.

Пусть длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна $x$ см. Так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то длина второй боковой стороны также равна $x$ см.

Согласно условию, основание треугольника на 7 см больше его боковой стороны. Следовательно, длина основания равна $(x + 7)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Известно, что периметр равен 43 см. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму длин сторон к периметру:

$x + x + (x + 7) = 43$

Теперь решим полученное уравнение:

$3x + 7 = 43$

Перенесем 7 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 43 - 7$

$3x = 36$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Таким образом, боковая сторона треугольника равна 12 см.

Проверим найденное решение:

• Боковая сторона: 12 см.
• Вторая боковая сторона: 12 см.
• Основание: $12 + 7 = 19$ см.
• Периметр: $12 + 12 + 19 = 43$ см.

Результат совпадает с данными в условии задачи.

Ответ: боковая сторона треугольника равна 12 см.

1105. Старинная задача.

Если $A$ получит от $B$ 100 рупий, то $A$ станет вдвое его богаче, а если $A$ даст $B$ 10 рупий, то $B$ станет вшестеро богаче. Сколько денег у каждого?

Для решения этой задачи обозначим количество денег у человека А через $A$, а у человека В — через $B$.

Согласно первому условию, если А получит от В 100 рупий, то у А станет $A + 100$ рупий, а у В останется $B - 100$ рупий. При этом А станет вдвое богаче В. Составим первое уравнение:
$A + 100 = 2(B - 100)$

Упростим это уравнение:
$A + 100 = 2B - 200$
$A = 2B - 300$

Согласно второму условию, если А даст В 10 рупий, то у А останется $A - 10$ рупий, а у В станет $B + 10$ рупий. При этом В станет вшестеро богаче А. Составим второе уравнение:
$B + 10 = 6(A - 10)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
1) $A = 2B - 300$
2) $B + 10 = 6(A - 10)$

Подставим выражение для $A$ из первого уравнения во второе:
$B + 10 = 6((2B - 300) - 10)$
$B + 10 = 6(2B - 310)$
$B + 10 = 12B - 1860$

Решим полученное уравнение относительно $B$:
$10 + 1860 = 12B - B$
$1870 = 11B$
$B = \frac{1870}{11}$
$B = 170$

Мы нашли, что у В было 170 рупий. Теперь найдем количество денег у А, подставив значение $B$ в первое уравнение:
$A = 2 \cdot 170 - 300$
$A = 340 - 300$
$A = 40$

Таким образом, у А было 40 рупий.

Проверим найденные значения.
1. Если А получит 100 рупий, у него станет $40 + 100 = 140$. У В останется $170 - 100 = 70$. $140$ ровно в два раза больше, чем $70$. Условие выполняется.
2. Если А даст 10 рупий, у него останется $40 - 10 = 30$. У В станет $170 + 10 = 180$. $180$ ровно в шесть раз больше, чем $30$. Условие также выполняется.

Ответ: у А было 40 рупий, у В было 170 рупий.

1107. Два автомата изготавливают детали. Число деталей, изготовленных первым автоматом за 3 ч и вторым за 2 ч, составляет 720 штук. Четвёртая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 ч, составила 150 штук. Сколько деталей изготовлял каждый автомат за час?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это производительность первого автомата (количество деталей, изготавливаемых за 1 час), а $y$ — производительность второго автомата.

Из первого условия известно, что первый автомат, работая 3 часа, изготовил $3x$ деталей, а второй, работая 2 часа, изготовил $2y$ деталей. Вместе они изготовили 720 деталей. Составим первое уравнение: $3x + 2y = 720$

Из второго условия известно, что оба автомата работали 2 часа. За это время первый изготовил $2x$ деталей, а второй — $2y$ деталей. Суммарное количество деталей равно $2x + 2y$. Четвёртая часть от этого количества составляет 150 штук. Составим второе уравнение: $\frac{1}{4}(2x + 2y) = 150$

Получили систему из двух уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 720 \\ \frac{1}{4}(2x + 2y) = 150 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: $2x + 2y = 150 \cdot 4$ $2x + 2y = 600$ Теперь разделим обе части на 2: $x + y = 300$

Теперь наша система уравнений выглядит так: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 720 \\ x + y = 300 \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 300 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение: $3x + 2(300 - x) = 720$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $3x + 600 - 2x = 720$ Приведем подобные слагаемые: $x + 600 = 720$ $x = 720 - 600$ $x = 120$

Мы нашли производительность первого автомата: он изготавливает 120 деталей в час.

Теперь найдем производительность второго автомата, подставив значение $x$ в выражение $y = 300 - x$: $y = 300 - 120$ $y = 180$

Производительность второго автомата — 180 деталей в час.

Ответ: первый автомат изготовлял 120 деталей в час, второй автомат — 180 деталей в час.

1109. Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — это скорость теплохода по течению, а $y$ км/ч — скорость теплохода против течения.

Из первого условия известно, что за 3 часа движения по течению и 2 часа против течения теплоход проходит 240 км. Расстояние — это произведение скорости на время. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$3x + 2y = 240$

Из второго условия мы знаем, что за 3 часа движения против течения теплоход проходит на 35 км больше, чем за 2 часа по течению. Это можно выразить в виде второго уравнения:

$3y = 2x + 35$

Для удобства решения преобразуем второе уравнение, перенеся $2x$ в левую часть:

$-2x + 3y = 35$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 3x + 2y = 240 \\ -2x + 3y = 35 \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго уравнения на 3, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$\begin{cases} 2(3x + 2y) = 2 \cdot 240 \\ 3(-2x + 3y) = 3 \cdot 35 \end{cases}$

$\begin{cases} 6x + 4y = 480 \\ -6x + 9y = 105 \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(6x + 4y) + (-6x + 9y) = 480 + 105$

$13y = 585$

Найдем $y$:

$y = \frac{585}{13} = 45$

Таким образом, скорость теплохода против течения составляет 45 км/ч.

Теперь подставим найденное значение $y = 45$ в первое уравнение исходной системы ($3x + 2y = 240$) для того, чтобы найти $x$:

$3x + 2(45) = 240$

$3x + 90 = 240$

$3x = 240 - 90$

$3x = 150$

$x = \frac{150}{3} = 50$

Следовательно, скорость теплохода по течению составляет 50 км/ч.

Ответ: скорость теплохода против течения равна 45 км/ч, а его скорость по течению — 50 км/ч.

1111. Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми 38 км, и встретились через 4 ч. С какой скоростью шёл каждый турист, если известно, что первый прошёл до встречи на 2 км больше второго?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — общее расстояние между городами, равное 38 км.
• $t$ — время в пути до встречи, равное 4 ч.
• $S_1$ и $v_1$ — расстояние, пройденное первым туристом, и его скорость.
• $S_2$ и $v_2$ — расстояние, пройденное вторым туристом, и его скорость.

Решение можно разбить на два основных этапа.

1. Нахождение расстояния, которое прошел каждый турист

Туристы двигались навстречу друг другу, и в момент встречи суммарно они преодолели всё расстояние между городами. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$S_1 + S_2 = 38$

По условию задачи, первый турист прошел на 2 км больше, чем второй. Это дает нам второе уравнение:

$S_1 = S_2 + 2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} S_1 + S_2 = 38 \\ S_1 = S_2 + 2 \end{cases} $

Для ее решения подставим выражение для $S_1$ из второго уравнения в первое:

$(S_2 + 2) + S_2 = 38$

Решим полученное уравнение относительно $S_2$:

$2S_2 + 2 = 38$

$2S_2 = 38 - 2$

$2S_2 = 36$

$S_2 = \frac{36}{2} = 18$ км.

Итак, расстояние, которое прошел второй турист, составляет 18 км. Теперь найдем расстояние, которое прошел первый турист:

$S_1 = S_2 + 2 = 18 + 2 = 20$ км.

2. Вычисление скорости каждого туриста

Скорость находится по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — пройденное расстояние, а $t$ — время в пути. Время для обоих туристов одинаково и равно 4 часам.

Вычислим скорость первого туриста:

$v_1 = \frac{S_1}{t} = \frac{20 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

Вычислим скорость второго туриста:

$v_2 = \frac{S_2}{t} = \frac{18 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 4,5$ км/ч.

Ответ: скорость первого туриста — 5 км/ч, скорость второго туриста — 4,5 км/ч.

1113. За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_с$ км/ч — собственная скорость теплохода, а $v_т$ км/ч — скорость течения реки.

В этом случае скорость теплохода при движении по течению составит $(v_с + v_т)$ км/ч, а скорость при движении против течения — $(v_с - v_т)$ км/ч.

Для упрощения расчетов введем новые переменные:

Пусть $x = v_с + v_т$ (км/ч) — скорость теплохода по течению.

Пусть $y = v_с - v_т$ (км/ч) — скорость теплохода против течения.

На основе условий задачи и формулы расстояния $S = v \cdot t$ составим систему из двух уравнений.

1. За 3 часа по течению ($3x$) и 4 часа против течения ($4y$) теплоход проходит 380 км. Получаем первое уравнение:

$3x + 4y = 380$

2. За 1 час по течению ($1x$) и 30 минут (то есть 0,5 часа) против течения ($0.5y$) теплоход проходит 85 км. Получаем второе уравнение:

$x + 0.5y = 85$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} 3x + 4y = 380 \\ x + 0.5y = 85 \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = 85 - 0.5y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3(85 - 0.5y) + 4y = 380$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$255 - 1.5y + 4y = 380$

$2.5y = 380 - 255$

$2.5y = 125$

$y = \frac{125}{2.5} = 50$

Таким образом, скорость теплохода против течения равна 50 км/ч.

Теперь найдем скорость по течению, подставив значение $y=50$ в выражение для $x$:

$x = 85 - 0.5 \cdot 50$

$x = 85 - 25$

$x = 60$

Таким образом, скорость теплохода по течению равна 60 км/ч.

Теперь, зная скорости по течению ($x=60$) и против течения ($y=50$), мы можем найти искомые величины: собственную скорость теплохода ($v_с$) и скорость течения ($v_т$).

$\begin{cases} v_с + v_т = 60 \\ v_с - v_т = 50 \end{cases}$

Сложим два уравнения этой системы:

$(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 60 + 50$

$2v_с = 110$

$v_с = \frac{110}{2} = 55$

Собственная скорость теплохода равна 55 км/ч.

Теперь подставим найденное значение $v_с$ в первое уравнение, чтобы найти $v_т$:

$55 + v_т = 60$

$v_т = 60 - 55$

$v_т = 5$

Скорость течения равна 5 км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода — 55 км/ч, скорость течения — 5 км/ч.