Номер 1106, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1106, страница 221.

Условие.

1106. Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад — в 5 раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $b$ — это текущий возраст брата, а $s$ — текущий возраст сестры.

Исходя из первого условия, 2 года назад брат был в 2 раза старше сестры. Возраст брата 2 года назад был равен $b - 2$, а возраст сестры — $s - 2$. Получаем первое уравнение:

$b - 2 = 2 \cdot (s - 2)$

Согласно второму условию, 8 лет назад брат был в 5 раз старше сестры. Возраст брата 8 лет назад был $b - 8$, а сестры — $s - 8$. Получаем второе уравнение:

$b - 8 = 5 \cdot (s - 8)$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b - 2 = 2(s - 2) \\ b - 8 = 5(s - 8) \end{cases}$

Сначала упростим оба уравнения, раскрыв скобки:

$\begin{cases} b - 2 = 2s - 4 \\ b - 8 = 5s - 40 \end{cases}$

Теперь выразим переменную $b$ из первого уравнения:

$b = 2s - 4 + 2$

$b = 2s - 2$

Подставим полученное выражение для $b$ во второе уравнение системы:

$(2s - 2) - 8 = 5s - 40$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти возраст сестры $s$:

$2s - 10 = 5s - 40$

Перенесем слагаемые с $s$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$40 - 10 = 5s - 2s$

$30 = 3s$

$s = \frac{30}{3}$

$s = 10$

Таким образом, мы выяснили, что сестре сейчас 10 лет.

Чтобы найти возраст брата $b$, подставим найденное значение $s = 10$ в выражение $b = 2s - 2$:

$b = 2 \cdot 10 - 2$

$b = 20 - 2$

$b = 18$

Следовательно, брату сейчас 18 лет.

Выполним проверку:

1. Два года назад: брату было $18 - 2 = 16$ лет, а сестре $10 - 2 = 8$ лет. $16$ в два раза больше, чем $8$. Условие выполняется.

2. Восемь лет назад: брату было $18 - 8 = 10$ лет, а сестре $10 - 8 = 2$ года. $10$ в пять раз больше, чем $2$. Условие также выполняется.

Ответ: брату 18 лет, сестре 10 лет.