Номер 1109, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1109, страница 221.

Условие.

1109. Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — это скорость теплохода по течению, а $y$ км/ч — скорость теплохода против течения.

Из первого условия известно, что за 3 часа движения по течению и 2 часа против течения теплоход проходит 240 км. Расстояние — это произведение скорости на время. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$3x + 2y = 240$

Из второго условия мы знаем, что за 3 часа движения против течения теплоход проходит на 35 км больше, чем за 2 часа по течению. Это можно выразить в виде второго уравнения:

$3y = 2x + 35$

Для удобства решения преобразуем второе уравнение, перенеся $2x$ в левую часть:

$-2x + 3y = 35$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 3x + 2y = 240 \\ -2x + 3y = 35 \end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго уравнения на 3, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$\begin{cases} 2(3x + 2y) = 2 \cdot 240 \\ 3(-2x + 3y) = 3 \cdot 35 \end{cases}$

$\begin{cases} 6x + 4y = 480 \\ -6x + 9y = 105 \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(6x + 4y) + (-6x + 9y) = 480 + 105$

$13y = 585$

Найдем $y$:

$y = \frac{585}{13} = 45$

Таким образом, скорость теплохода против течения составляет 45 км/ч.

Теперь подставим найденное значение $y = 45$ в первое уравнение исходной системы ($3x + 2y = 240$) для того, чтобы найти $x$:

$3x + 2(45) = 240$

$3x + 90 = 240$

$3x = 240 - 90$

$3x = 150$

$x = \frac{150}{3} = 50$

Следовательно, скорость теплохода по течению составляет 50 км/ч.

Ответ: скорость теплохода против течения равна 45 км/ч, а его скорость по течению — 50 км/ч.