Номер 1107, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1107, страница 221.

Условие.

1107. Два автомата изготавливают детали. Число деталей, изготовленных первым автоматом за 3 ч и вторым за 2 ч, составляет 720 штук. Четвёртая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за 2 ч, составила 150 штук. Сколько деталей изготовлял каждый автомат за час?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это производительность первого автомата (количество деталей, изготавливаемых за 1 час), а $y$ — производительность второго автомата.

Из первого условия известно, что первый автомат, работая 3 часа, изготовил $3x$ деталей, а второй, работая 2 часа, изготовил $2y$ деталей. Вместе они изготовили 720 деталей. Составим первое уравнение: $3x + 2y = 720$

Из второго условия известно, что оба автомата работали 2 часа. За это время первый изготовил $2x$ деталей, а второй — $2y$ деталей. Суммарное количество деталей равно $2x + 2y$. Четвёртая часть от этого количества составляет 150 штук. Составим второе уравнение: $\frac{1}{4}(2x + 2y) = 150$

Получили систему из двух уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 720 \\ \frac{1}{4}(2x + 2y) = 150 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: $2x + 2y = 150 \cdot 4$ $2x + 2y = 600$ Теперь разделим обе части на 2: $x + y = 300$

Теперь наша система уравнений выглядит так: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 720 \\ x + y = 300 \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 300 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение: $3x + 2(300 - x) = 720$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $3x + 600 - 2x = 720$ Приведем подобные слагаемые: $x + 600 = 720$ $x = 720 - 600$ $x = 120$

Мы нашли производительность первого автомата: он изготавливает 120 деталей в час.

Теперь найдем производительность второго автомата, подставив значение $x$ в выражение $y = 300 - x$: $y = 300 - 120$ $y = 180$

Производительность второго автомата — 180 деталей в час.

Ответ: первый автомат изготовлял 120 деталей в час, второй автомат — 180 деталей в час.