Номер 1113, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1113, страница 221.

Условие.

1113. За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_с$ км/ч — собственная скорость теплохода, а $v_т$ км/ч — скорость течения реки.

В этом случае скорость теплохода при движении по течению составит $(v_с + v_т)$ км/ч, а скорость при движении против течения — $(v_с - v_т)$ км/ч.

Для упрощения расчетов введем новые переменные:

Пусть $x = v_с + v_т$ (км/ч) — скорость теплохода по течению.

Пусть $y = v_с - v_т$ (км/ч) — скорость теплохода против течения.

На основе условий задачи и формулы расстояния $S = v \cdot t$ составим систему из двух уравнений.

1. За 3 часа по течению ($3x$) и 4 часа против течения ($4y$) теплоход проходит 380 км. Получаем первое уравнение:

$3x + 4y = 380$

2. За 1 час по течению ($1x$) и 30 минут (то есть 0,5 часа) против течения ($0.5y$) теплоход проходит 85 км. Получаем второе уравнение:

$x + 0.5y = 85$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} 3x + 4y = 380 \\ x + 0.5y = 85 \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = 85 - 0.5y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3(85 - 0.5y) + 4y = 380$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$255 - 1.5y + 4y = 380$

$2.5y = 380 - 255$

$2.5y = 125$

$y = \frac{125}{2.5} = 50$

Таким образом, скорость теплохода против течения равна 50 км/ч.

Теперь найдем скорость по течению, подставив значение $y=50$ в выражение для $x$:

$x = 85 - 0.5 \cdot 50$

$x = 85 - 25$

$x = 60$

Таким образом, скорость теплохода по течению равна 60 км/ч.

Теперь, зная скорости по течению ($x=60$) и против течения ($y=50$), мы можем найти искомые величины: собственную скорость теплохода ($v_с$) и скорость течения ($v_т$).

$\begin{cases} v_с + v_т = 60 \\ v_с - v_т = 50 \end{cases}$

Сложим два уравнения этой системы:

$(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 60 + 50$

$2v_с = 110$

$v_с = \frac{110}{2} = 55$

Собственная скорость теплохода равна 55 км/ч.

Теперь подставим найденное значение $v_с$ в первое уравнение, чтобы найти $v_т$:

$55 + v_т = 60$

$v_т = 60 - 55$

$v_т = 5$

Скорость течения равна 5 км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода — 55 км/ч, скорость течения — 5 км/ч.