Номер 1114, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1114, страница 222.

Условие.

1114. На двух полках 55 книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в 4 раза больше книг, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество книг на первой полке, а $y$ — первоначальное количество книг на второй полке.

По условию, всего на двух полках 55 книг, что можно записать в виде первого уравнения:
$x + y = 55$

Далее, со второй полки переставили половину книг ($y/2$) на первую. После этого количество книг на второй полке стало $y - y/2 = y/2$, а на первой полке стало $x + y/2$.

Согласно второму условию, после перестановки количество книг на первой полке стало в 4 раза больше, чем на второй. Это дает нам второе уравнение:
$x + \frac{y}{2} = 4 \cdot \left(\frac{y}{2}\right)$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} x + y = 55 \\ x + \frac{y}{2} = 2y \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = 2y - \frac{y}{2}$
$x = \frac{4y - y}{2}$
$x = \frac{3y}{2}$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$\frac{3y}{2} + y = 55$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $y$:
$\frac{3y}{2} + \frac{2y}{2} = 55$
$\frac{5y}{2} = 55$
$5y = 55 \cdot 2$
$5y = 110$
$y = \frac{110}{5}$
$y = 22$

Итак, на второй полке изначально было 22 книги. Теперь найдем первоначальное количество книг на первой полке, подставив значение $y$ в первое уравнение:
$x + 22 = 55$
$x = 55 - 22$
$x = 33$

Следовательно, на первой полке изначально было 33 книги.

Проведем проверку. Изначально: 33 книги на первой полке и 22 на второй, в сумме $33 + 22 = 55$ книг. Переставляем половину со второй полки: $22 / 2 = 11$ книг. На второй полке остается $22 - 11 = 11$ книг. На первой полке становится $33 + 11 = 44$ книги. Проверяем соотношение: $44$ в 4 раза больше, чем $11$ ($44 = 4 \cdot 11$). Все условия задачи выполнены.

Ответ: на первой полке было 33 книги, на второй — 22 книги.