Номер 1115, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1115, страница 222.

Условие.

1115. Старинная задача. На левой чаше весов, находящихся в равновесии, лежат 9 одинаковых слитков золота, а на правой — 11 одинаковых слитков серебра. Если поменять местами один слиток золота со слитком серебра, то левая чаша окажется на 13 г легче правой. Сколько весит один слиток золота и один слиток серебра?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $g$ — вес одного слитка золота в граммах, а $s$ — вес одного слитка серебра в граммах.

Из начального условия, что 9 слитков золота уравновешивают 11 слитков серебра, составим первое уравнение, отражающее равенство весов на чашах весов:

$9g = 11s$

Далее, один слиток золота с левой чаши меняют местами с одним слитком серебра с правой чаши. Рассмотрим, как это влияет на разницу в весе между правой и левой чашами.Изначально разница была равна нулю.С левой чаши убрали слиток золота (вес $g$) и добавили слиток серебра (вес $s$). Общее изменение веса на левой чаше равно $s - g$.На правую чашу убрали слиток серебра (вес $s$) и добавили слиток золота (вес $g$). Общее изменение веса на правой чаше равно $g - s$.

Новая разница в весе между правой и левой чашами составляет 13 г. Эта разница складывается из изменения веса на правой чаше и противоположного изменения веса на левой чаше:

Разница = (изменение на правой чаше) - (изменение на левой чаше)

$13 = (g - s) - (s - g)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$13 = g - s - s + g$

$13 = 2g - 2s$

$13 = 2(g - s)$

Из этого уравнения мы можем найти, на сколько граммов слиток золота тяжелее слитка серебра:

$g - s = \frac{13}{2} = 6.5$

Отсюда можно выразить вес слитка золота через вес слитка серебра:

$g = s + 6.5$

Теперь подставим это выражение в наше первое уравнение ($9g = 11s$):

$9(s + 6.5) = 11s$

Решим полученное уравнение относительно $s$:

$9s + 9 \cdot 6.5 = 11s$

$9s + 58.5 = 11s$

$11s - 9s = 58.5$

$2s = 58.5$

$s = \frac{58.5}{2} = 29.25$

Таким образом, вес одного слитка серебра равен 29.25 г.

Теперь найдем вес одного слитка золота:

$g = s + 6.5 = 29.25 + 6.5 = 35.75$

Вес одного слитка золота равен 35.75 г.

Ответ: один слиток золота весит 35.75 г, а один слиток серебра весит 29.25 г.