Номер 1110, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1110, страница 221.

Условие.

1110. Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 280 км, выходят одновременно два автомобиля. Если автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча произойдёт через 2 ч. Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из $A$, догонит автомобиль, вышедший из $B$, через 14 ч. Какова скорость каждого автомобиля?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи обозначим скорость автомобиля, выехавшего из пункта А, как $v_A$ (в км/ч), а скорость автомобиля, выехавшего из пункта B, — как $v_B$ (в км/ч). Расстояние между пунктами А и В составляет $S = 280$ км.

1. Движение навстречу друг другу.

Когда автомобили движутся навстречу друг другу, их общая скорость, называемая скоростью сближения, равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_A + v_B$. Они встретятся через время $t_1 = 2$ ч. За это время вместе они преодолеют все расстояние $S$. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, составляем первое уравнение: $S = (v_A + v_B) \cdot t_1$ Подставляем известные значения: $280 = (v_A + v_B) \cdot 2$ Отсюда находим сумму скоростей: $v_A + v_B = \frac{280}{2}$ $v_A + v_B = 140$

2. Движение в одном направлении.

Когда автомобили движутся в одном направлении, автомобиль из А догоняет автомобиль из В. Это значит, что $v_A > v_B$. Скорость, с которой автомобиль из А догоняет автомобиль из В (скорость сближения), равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_A - v_B$. Чтобы догнать второй автомобиль, первому нужно преодолеть начальное расстояние между ними, то есть $S = 280$ км. Время, за которое это произойдет, составляет $t_2 = 14$ ч. Составляем второе уравнение: $S = (v_A - v_B) \cdot t_2$ Подставляем известные значения: $280 = (v_A - v_B) \cdot 14$ Отсюда находим разность скоростей: $v_A - v_B = \frac{280}{14}$ $v_A - v_B = 20$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} v_A + v_B = 140 \\ v_A - v_B = 20 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $v_A$: $(v_A + v_B) + (v_A - v_B) = 140 + 20$ $2v_A = 160$ $v_A = \frac{160}{2}$ $v_A = 80$ (км/ч)

Теперь подставим найденное значение $v_A$ в первое уравнение, чтобы найти $v_B$: $80 + v_B = 140$ $v_B = 140 - 80$ $v_B = 60$ (км/ч)

Ответ: скорость автомобиля, вышедшего из пункта А, равна 80 км/ч, а скорость автомобиля, вышедшего из пункта В, — 60 км/ч.