Номер 1105, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Решение задач с помощью систем уравнений. Параграф 16. Решение систем линейных уравнений. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1105, страница 221.

Условие.

1105. Старинная задача.

Если $A$ получит от $B$ 100 рупий, то $A$ станет вдвое его богаче, а если $A$ даст $B$ 10 рупий, то $B$ станет вшестеро богаче. Сколько денег у каждого?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи обозначим количество денег у человека А через $A$, а у человека В — через $B$.

Согласно первому условию, если А получит от В 100 рупий, то у А станет $A + 100$ рупий, а у В останется $B - 100$ рупий. При этом А станет вдвое богаче В. Составим первое уравнение:
$A + 100 = 2(B - 100)$

Упростим это уравнение:
$A + 100 = 2B - 200$
$A = 2B - 300$

Согласно второму условию, если А даст В 10 рупий, то у А останется $A - 10$ рупий, а у В станет $B + 10$ рупий. При этом В станет вшестеро богаче А. Составим второе уравнение:
$B + 10 = 6(A - 10)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
1) $A = 2B - 300$
2) $B + 10 = 6(A - 10)$

Подставим выражение для $A$ из первого уравнения во второе:
$B + 10 = 6((2B - 300) - 10)$
$B + 10 = 6(2B - 310)$
$B + 10 = 12B - 1860$

Решим полученное уравнение относительно $B$:
$10 + 1860 = 12B - B$
$1870 = 11B$
$B = \frac{1870}{11}$
$B = 170$

Мы нашли, что у В было 170 рупий. Теперь найдем количество денег у А, подставив значение $B$ в первое уравнение:
$A = 2 \cdot 170 - 300$
$A = 340 - 300$
$A = 40$

Таким образом, у А было 40 рупий.

Проверим найденные значения.
1. Если А получит 100 рупий, у него станет $40 + 100 = 140$. У В останется $170 - 100 = 70$. $140$ ровно в два раза больше, чем $70$. Условие выполняется.
2. Если А даст 10 рупий, у него останется $40 - 10 = 30$. У В станет $170 + 10 = 180$. $180$ ровно в шесть раз больше, чем $30$. Условие также выполняется.

Ответ: у А было 40 рупий, у В было 170 рупий.