Страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1072. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 3x + 4y = 0, \\ 2x + 3y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7x + 2y = 0, \\ 4y + 9x = 10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x + 6y = -20, \\ 9y + 2x = 25; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + 1 = 8y, \\ 11y - 3x = -11. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 4y = 0, \\ 2x + 3y = 1. \end{cases} $$ Для решения используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами. $$ \begin{cases} 2(3x + 4y) = 2 \cdot 0, \\ -3(2x + 3y) = -3 \cdot 1; \end{cases} $$ В результате получаем следующую систему: $$ \begin{cases} 6x + 8y = 0, \\ -6x - 9y = -3. \end{cases} $$ Теперь сложим два уравнения почленно: $$(6x + 8y) + (-6x - 9y) = 0 + (-3)$$ $$6x + 8y - 6x - 9y = -3$$ $$-y = -3$$ $$y = 3$$ Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$: $$3x + 4(3) = 0$$ $$3x + 12 = 0$$ $$3x = -12$$ $$x = -4$$ Проверим решение, подставив найденные значения $x$ и $y$ во второе уравнение: $2(-4) + 3(3) = -8 + 9 = 1$. Равенство верно.

Ответ: $(-4; 3)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 7x + 2y = 0, \\ 4y + 9x = 10. \end{cases} $$ Для удобства приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв слагаемые местами: $$ \begin{cases} 7x + 2y = 0, \\ 9x + 4y = 10. \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными: $$ \begin{cases} -2(7x + 2y) = -2 \cdot 0, \\ 9x + 4y = 10; \end{cases} $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} -14x - 4y = 0, \\ 9x + 4y = 10. \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$(-14x - 4y) + (9x + 4y) = 0 + 10$$ $$-14x - 4y + 9x + 4y = 10$$ $$-5x = 10$$ $$x = -2$$ Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение: $$7(-2) + 2y = 0$$ $$-14 + 2y = 0$$ $$2y = 14$$ $$y = 7$$ Проверим решение, подставив найденные значения во второе уравнение: $4(7) + 9(-2) = 28 - 18 = 10$. Равенство верно.

Ответ: $(-2; 7)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5x + 6y = -20, \\ 9y + 2x = 25. \end{cases} $$ Приведем второе уравнение к стандартному виду: $$ \begin{cases} 5x + 6y = -20, \\ 2x + 9y = 25. \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5: $$ \begin{cases} 2(5x + 6y) = 2(-20), \\ -5(2x + 9y) = -5(25); \end{cases} $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} 10x + 12y = -40, \\ -10x - 45y = -125. \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$(10x + 12y) + (-10x - 45y) = -40 + (-125)$$ $$10x + 12y - 10x - 45y = -165$$ $$-33y = -165$$ $$y = \frac{-165}{-33} = 5$$ Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение: $$5x + 6(5) = -20$$ $$5x + 30 = -20$$ $$5x = -50$$ $$x = -10$$ Проверим решение, подставив значения во второе уравнение: $9(5) + 2(-10) = 45 - 20 = 25$. Равенство верно.

Ответ: $(-10; 5)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x + 1 = 8y, \\ 11y - 3x = -11. \end{cases} $$ Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$: $$ \begin{cases} 3x - 8y = -1, \\ -3x + 11y = -11. \end{cases} $$ Коэффициенты при $x$ уже являются противоположными числами, поэтому можно сразу сложить уравнения: $$(3x - 8y) + (-3x + 11y) = -1 + (-11)$$ $$3x - 8y - 3x + 11y = -12$$ $$3y = -12$$ $$y = -4$$ Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение: $$3x + 1 = 8(-4)$$ $$3x + 1 = -32$$ $$3x = -33$$ $$x = -11$$ Проверим решение, подставив значения во второе уравнение: $11(-4) - 3(-11) = -44 + 33 = -11$. Равенство верно.

Ответ: $(-11; -4)$.

1074. Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:

а) $5x - 4y = 16$ и $x - 2y = 6$;

б) $20x - 15y = 100$ и $3x - y = 6$.

а)

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения, необходимо решить систему, состоящую из этих уравнений. Координаты $(x, y)$ точки пересечения являются решением этой системы.

Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 5x - 4y = 16 \\ x - 2y = 6 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = 6 + 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$5(6 + 2y) - 4y = 16$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:
$30 + 10y - 4y = 16$
$6y = 16 - 30$
$6y = -14$
$y = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$

Подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$, чтобы найти его значение:
$x = 6 + 2y = 6 + 2(-\frac{7}{3}) = 6 - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} - \frac{14}{3} = \frac{4}{3}$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$.

Ответ: $(\frac{4}{3}; -\frac{7}{3})$

б)

Аналогично пункту а), составим и решим систему уравнений для нахождения координат точки пересечения.

Система уравнений:
$ \begin{cases} 20x - 15y = 100 \\ 3x - y = 6 \end{cases} $

Заметим, что первое уравнение можно упростить, разделив все его члены на 5:
$4x - 3y = 20$

Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} 4x - 3y = 20 \\ 3x - y = 6 \end{cases} $

Из второго уравнения удобно выразить переменную $y$:
$y = 3x - 6$

Подставим это выражение в первое (упрощенное) уравнение:
$4x - 3(3x - 6) = 20$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$4x - 9x + 18 = 20$
$-5x = 20 - 18$
$-5x = 2$
$x = -\frac{2}{5}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 3x - 6$:
$y = 3(-\frac{2}{5}) - 6 = -\frac{6}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{36}{5}$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$.

Ответ: $(-\frac{2}{5}; -\frac{36}{5})$

1076. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases}5y + 8(x - 3y) = 7x - 12; \\9x + 3(x - 9y) = 11y + 46;\end{cases}$

б) $\begin{cases}-2(a - b) + 16 = 3(b + 7), \\6a - (a - 5) = -8 - (b + 1).\end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5y + 8(x - 3y) = 7x - 12 \\ 9x + 3(x - 9y) = 11y + 46 \end{cases} $$ Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Преобразуем первое уравнение:
$5y + 8x - 24y = 7x - 12$
$8x - 7x + 5y - 24y = -12$
$x - 19y = -12$

Преобразуем второе уравнение:
$9x + 3x - 27y = 11y + 46$
$12x - 27y - 11y = 46$
$12x - 38y = 46$
Для удобства разделим обе части уравнения на 2:
$6x - 19y = 23$

В результате получаем следующую систему: $$ \begin{cases} x - 19y = -12 \\ 6x - 19y = 23 \end{cases} $$ Решим эту систему методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:
$(6x - 19y) - (x - 19y) = 23 - (-12)$
$6x - 19y - x + 19y = 23 + 12$
$5x = 35$
$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x=7$ в первое упрощенное уравнение $x - 19y = -12$, чтобы найти $y$:
$7 - 19y = -12$
$-19y = -12 - 7$
$-19y = -19$
$y = 1$

Ответ: $(7; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} -2(a - b) + 16 = 3(b + 7) \\ 6a - (a - 5) = -8 - (b + 1) \end{cases} $$ Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Преобразуем первое уравнение:
$-2a + 2b + 16 = 3b + 21$
$-2a + 2b - 3b = 21 - 16$
$-2a - b = 5$

Преобразуем второе уравнение:
$6a - a + 5 = -8 - b - 1$
$5a + 5 = -9 - b$
$5a + b = -9 - 5$
$5a + b = -14$

В результате получаем следующую систему: $$ \begin{cases} -2a - b = 5 \\ 5a + b = -14 \end{cases} $$ Решим эту систему методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(-2a - b) + (5a + b) = 5 + (-14)$
$3a = -9$
$a = -3$

Теперь подставим найденное значение $a=-3$ во второе упрощенное уравнение $5a + b = -14$, чтобы найти $b$:
$5(-3) + b = -14$
$-15 + b = -14$
$b = -14 + 15$
$b = 1$

Ответ: $(-3; 1)$.

1078. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6, \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3, \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \\ \frac{3x}{2} - y = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{3x}{5} - 2y = 5, \\ x - \frac{3y}{2} = 6,5. \end{cases}$

а) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6 \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0 \end{cases}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 5), а второе уравнение на 60 (наименьшее общее кратное для 15 и 12).
$20(\frac{y}{4} - \frac{x}{5}) = 20 \cdot 6 \implies 5y - 4x = 120$
$60(\frac{x}{15} + \frac{y}{12}) = 60 \cdot 0 \implies 4x + 5y = 0$
Получаем эквивалентную систему, которую удобнее решать:$\begin{cases} -4x + 5y = 120 \\ 4x + 5y = 0 \end{cases}$
Теперь сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $x$:
$(-4x + 5y) + (4x + 5y) = 120 + 0$
$10y = 120$
$y = 12$
Подставим найденное значение $y$ в любое из упрощенных уравнений, например, во второе:
$4x + 5(12) = 0$
$4x + 60 = 0$
$4x = -60$
$x = -15$
Ответ: $x = -15, y = 12$.

б) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3 \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2 \end{cases}$.
Для упрощения избавимся от дробей и десятичных чисел. Умножим оба уравнения на 30 (наименьшее общее кратное для 5, 15, 10, 3):
$30(\frac{6x}{5} + \frac{y}{15}) = 30 \cdot 2,3 \implies 36x + 2y = 69$
$30(\frac{x}{10} - \frac{2y}{3}) = 30 \cdot 1,2 \implies 3x - 20y = 36$
Получаем систему:$\begin{cases} 36x + 2y = 69 \\ 3x - 20y = 36 \end{cases}$
Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 10, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$10(36x + 2y) = 10 \cdot 69 \implies 360x + 20y = 690$
Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:
$(360x + 20y) + (3x - 20y) = 690 + 36$
$363x = 726$
$x = 2$
Подставим $x=2$ во второе упрощенное уравнение:$3(2) - 20y = 36$
$6 - 20y = 36$
$-20y = 30$
$y = -1,5$
Ответ: $x = 2, y = -1,5$.

в) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ \frac{3x}{2} - y = 6 \end{cases}$.
Заметим, что если умножить первое уравнение на 3, мы получим второе уравнение:
$3(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 3 \cdot 2$
$\frac{3x}{2} - \frac{3y}{3} = 6$
$\frac{3x}{2} - y = 6$
Так как оба уравнения являются, по сути, одним и тем же уравнением, система имеет бесконечное множество решений. Все точки $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $3x - 2y = 12$ (упрощенная форма любого из уравнений), являются решениями.
Выразим одну переменную через другую, например, $y$ через $x$ из уравнения $\frac{3x}{2} - y = 6$:
$-y = 6 - \frac{3x}{2}$
$y = \frac{3x}{2} - 6$
Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(x, \frac{3}{2}x - 6)$, где $x$ — любое действительное число.

г) Исходная система уравнений: $\begin{cases} \frac{3x}{5} - 2y = 5 \\ x - \frac{3y}{2} = 6,5 \end{cases}$.
Упростим систему, умножив первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы избавиться от знаменателей:
$5(\frac{3x}{5} - 2y) = 5 \cdot 5 \implies 3x - 10y = 25$
$2(x - \frac{3y}{2}) = 2 \cdot 6,5 \implies 2x - 3y = 13$
Получаем систему:$\begin{cases} 3x - 10y = 25 \\ 2x - 3y = 13 \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы исключить $x$:
$2(3x - 10y) = 2 \cdot 25 \implies 6x - 20y = 50$
$-3(2x - 3y) = -3 \cdot 13 \implies -6x + 9y = -39$
Сложим полученные уравнения:
$(6x - 20y) + (-6x + 9y) = 50 - 39$
$-11y = 11$
$y = -1$
Подставим $y=-1$ во второе упрощенное уравнение $2x - 3y = 13$:
$2x - 3(-1) = 13$
$2x + 3 = 13$
$2x = 10$
$x = 5$
Ответ: $x = 5, y = -1$.

1073. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений:

а) $7x + 4y = 23$ и $8x - 10y = 19$;

б) $11x - 6y = 2$ и $-8x + 5y = 3$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух уравнений, необходимо решить систему этих уравнений. Координаты $(x, y)$ точки пересечения являются решением данной системы.

а) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 4y = 23 \\ 8x - 10y = 19 \end{cases} $

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} (7x + 4y) \cdot 5 = 23 \cdot 5 \\ (8x - 10y) \cdot 2 = 19 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 35x + 20y = 115 \\ 16x - 20y = 38 \end{cases} $

Сложим почленно два уравнения системы:

$(35x + 20y) + (16x - 20y) = 115 + 38$

$51x = 153$

$x = \frac{153}{51}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$7 \cdot 3 + 4y = 23$

$21 + 4y = 23$

$4y = 23 - 21$

$4y = 2$

$y = \frac{2}{4} = 0.5$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(3; 0.5)$.

Ответ: $(3; 0.5)$.

б) Имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} 11x - 6y = 2 \\ -8x + 5y = 3 \end{cases} $

Снова используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы избавиться от переменной $y$:

$ \begin{cases} (11x - 6y) \cdot 5 = 2 \cdot 5 \\ (-8x + 5y) \cdot 6 = 3 \cdot 6 \end{cases} \implies \begin{cases} 55x - 30y = 10 \\ -48x + 30y = 18 \end{cases} $

Сложим почленно полученные уравнения:

$(55x - 30y) + (-48x + 30y) = 10 + 18$

$7x = 28$

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$-8 \cdot 4 + 5y = 3$

$-32 + 5y = 3$

$5y = 3 + 32$

$5y = 35$

$y = \frac{35}{5}$

$y = 7$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(4; 7)$.

Ответ: $(4; 7)$.

1075. Найдите решение системы уравнений:

а) $\begin{cases} 3(x - 5) - 1 = 6 - 2x; \\ 3(x - y) - 7y = -4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6(x + y) - y = -1, \\ 7(y + 4) - (y + 2) = 0. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3(x - 5) - 1 = 6 - 2x, \\ 3(x - y) - 7y = -4; \end{cases} $$

Сначала решим первое уравнение, так как оно содержит только одну переменную $x$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$3x - 15 - 1 = 6 - 2x$

$3x - 16 = 6 - 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения - в правую.

$3x + 2x = 6 + 16$

$5x = 22$

$x = \frac{22}{5} = 4.4$

Теперь упростим второе уравнение системы.

$3(x - y) - 7y = -4$

$3x - 3y - 7y = -4$

$3x - 10y = -4$

Подставим найденное значение $x = 4.4$ в преобразованное второе уравнение, чтобы найти $y$.

$3 \cdot (4.4) - 10y = -4$

$13.2 - 10y = -4$

$-10y = -4 - 13.2$

$-10y = -17.2$

$y = \frac{-17.2}{-10} = 1.72$

Решением системы является пара чисел $(4.4; 1.72)$.

Ответ: $(4.4; 1.72)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 6(x + y) - y = -1, \\ 7(y + 4) - (y + 2) = 0. \end{cases} $$

Сначала решим второе уравнение, так как оно содержит только одну переменную $y$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$7y + 28 - y - 2 = 0$

$6y + 26 = 0$

Перенесем числовое значение в правую часть.

$6y = -26$

$y = -\frac{26}{6} = -\frac{13}{3}$

Теперь упростим первое уравнение системы.

$6(x + y) - y = -1$

$6x + 6y - y = -1$

$6x + 5y = -1$

Подставим найденное значение $y = -\frac{13}{3}$ в преобразованное первое уравнение, чтобы найти $x$.

$6x + 5 \cdot (-\frac{13}{3}) = -1$

$6x - \frac{65}{3} = -1$

$6x = -1 + \frac{65}{3}$

Приведем правую часть к общему знаменателю.

$6x = -\frac{3}{3} + \frac{65}{3}$

$6x = \frac{62}{3}$

$x = \frac{62}{3} \div 6 = \frac{62}{3 \cdot 6} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}$

Решением системы является пара чисел $(\frac{31}{9}; -\frac{13}{3})$.

Ответ: $(\frac{31}{9}; -\frac{13}{3})$.

1077. Найдите решение системы уравнений:

a) $ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4, \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = -2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{a}{6} - 2b = 6, \\ -3a + \frac{b}{2} = -37; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1, \\ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 7x - \frac{3y}{5} = -4, \\ x + \frac{2y}{5} = -3. \end{cases} $

a) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = -2 \end{cases} $$ Для того чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), а второе уравнение на 2. $$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{y}{2}) = 6 \cdot (-4) \\ 2 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) = 2 \cdot (-2) \end{cases} $$ Получим упрощенную систему: $$ \begin{cases} 2x - 3y = -24 \\ x + y = -4 \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$: $x = -4 - y$ Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение: $2(-4 - y) - 3y = -24$ $-8 - 2y - 3y = -24$ $-8 - 5y = -24$ $-5y = -24 + 8$ $-5y = -16$ $y = \frac{-16}{-5} = \frac{16}{5} = 3.2$ Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = -4 - y$: $x = -4 - \frac{16}{5} = -\frac{20}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{36}{5} = -7.2$
Ответ: $x = -7.2, y = 3.2$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{a}{6} - 2b = 6 \\ -3a + \frac{b}{2} = -37 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на 6, а второе на 2, чтобы избавиться от знаменателей: $$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{a}{6} - 2b) = 6 \cdot 6 \\ 2 \cdot (-3a + \frac{b}{2}) = 2 \cdot (-37) \end{cases} $$ Получим упрощенную систему: $$ \begin{cases} a - 12b = 36 \\ -6a + b = -74 \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 36 + 12b$ Подставим это выражение во второе уравнение: $-6(36 + 12b) + b = -74$ $-216 - 72b + b = -74$ $-216 - 71b = -74$ $-71b = -74 + 216$ $-71b = 142$ $b = \frac{142}{-71} = -2$ Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = 36 + 12b$: $a = 36 + 12(-2) = 36 - 24 = 12$
Ответ: $a = 12, b = -2$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1 \\ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на 15 (НОК 5 и 3), а второе на 30 (НОК 10 и 6), чтобы избавиться от дробей: $$ \begin{cases} 15 \cdot (\frac{2m}{5} + \frac{n}{3}) = 15 \cdot 1 \\ 30 \cdot (\frac{m}{10} - \frac{7n}{6}) = 30 \cdot 4 \end{cases} $$ Получим упрощенную систему: $$ \begin{cases} 6m + 5n = 15 \\ 3m - 35n = 120 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $m$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 6m + 5n = 15 \\ -2(3m - 35n) = -2(120) \end{cases} \implies \begin{cases} 6m + 5n = 15 \\ -6m + 70n = -240 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $(6m + 5n) + (-6m + 70n) = 15 + (-240)$ $75n = -225$ $n = \frac{-225}{75} = -3$ Теперь найдем $m$, подставив $n = -3$ в первое упрощенное уравнение $6m + 5n = 15$: $6m + 5(-3) = 15$ $6m - 15 = 15$ $6m = 30$ $m = \frac{30}{6} = 5$
Ответ: $m = 5, n = -3$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 7x - \frac{3y}{5} = -4 \\ x + \frac{2y}{5} = -3 \end{cases} $$ Умножим оба уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателей: $$ \begin{cases} 5 \cdot (7x - \frac{3y}{5}) = 5 \cdot (-4) \\ 5 \cdot (x + \frac{2y}{5}) = 5 \cdot (-3) \end{cases} $$ Получим упрощенную систему: $$ \begin{cases} 35x - 3y = -20 \\ 5x + 2y = -15 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку: $$ \begin{cases} 2(35x - 3y) = 2(-20) \\ 3(5x + 2y) = 3(-15) \end{cases} \implies \begin{cases} 70x - 6y = -40 \\ 15x + 6y = -45 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $(70x - 6y) + (15x + 6y) = -40 + (-45)$ $85x = -85$ $x = -1$ Теперь найдем $y$, подставив $x = -1$ во второе упрощенное уравнение $5x + 2y = -15$: $5(-1) + 2y = -15$ $-5 + 2y = -15$ $2y = -15 + 5$ $2y = -10$ $y = -5$
Ответ: $x = -1, y = -5$.