Страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1055. Найдите значение выражения:

а) $a(a - 4) - (a + 4)^2$ при $a = -1\frac{1}{4}$;

б) $(2a - 5)^2 - 4(a - 1)(3 + a)$ при $a = \frac{1}{12}$.

a)

Чтобы найти значение выражения $a(a - 4) - (a + 4)^2$ при $a = -1\frac{1}{4}$, сначала упростим его.

Раскроем скобки. Первую — умножением $a$ на каждый член в скобке. Вторую — по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$a(a - 4) - (a + 4)^2 = (a^2 - 4a) - (a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) = a^2 - 4a - (a^2 + 8a + 16)$.

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знак каждого слагаемого внутри них на противоположный:

$a^2 - 4a - a^2 - 8a - 16$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-4a - 8a) - 16 = 0 - 12a - 16 = -12a - 16$.

Теперь подставим значение $a = -1\frac{1}{4}$ в упрощенное выражение. Для удобства вычислений переведем смешанное число в неправильную дробь: $a = -1\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{5}{4}$.

$-12a - 16 = -12 \cdot (-\frac{5}{4}) - 16$.

Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сократим 12 и 4:

$\frac{12 \cdot 5}{4} - 16 = 3 \cdot 5 - 16 = 15 - 16 = -1$.

Ответ: -1

б)

Чтобы найти значение выражения $(2a - 5)^2 - 4(a - 1)(3 + a)$ при $a = \frac{1}{12}$, сначала упростим его.

Раскроем скобки. Для $(2a - 5)^2$ используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Затем перемножим многочлены $(a - 1)$ и $(3 + a)$.

$(2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$.

$(a - 1)(3 + a) = a \cdot 3 + a \cdot a - 1 \cdot 3 - 1 \cdot a = 3a + a^2 - 3 - a = a^2 + 2a - 3$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(4a^2 - 20a + 25) - 4(a^2 + 2a - 3)$.

Раскроем вторые скобки, умножив каждое слагаемое на -4:

$4a^2 - 20a + 25 - 4a^2 - 8a + 12$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a^2) + (-20a - 8a) + (25 + 12) = 0 - 28a + 37 = -28a + 37$.

Теперь подставим значение $a = \frac{1}{12}$ в упрощенное выражение:

$-28a + 37 = -28 \cdot \frac{1}{12} + 37 = -\frac{28}{12} + 37$.

Сократим дробь $-\frac{28}{12}$ на 4: $-\frac{28 \div 4}{12 \div 4} = -\frac{7}{3}$.

Получаем: $-\frac{7}{3} + 37$. Чтобы выполнить сложение, приведем 37 к знаменателю 3:

$37 = \frac{37 \cdot 3}{3} = \frac{111}{3}$.

$-\frac{7}{3} + \frac{111}{3} = \frac{111 - 7}{3} = \frac{104}{3}$.

Выделим из неправильной дроби целую часть: $\frac{104}{3} = 34\frac{2}{3}$.

Ответ: $34\frac{2}{3}$

1054. Решите уравнение:

а) $\frac{16 - x}{8} - \frac{18 - x}{12} = 0;$

б) $\frac{x - 15}{2} - \frac{2x + 1}{8} + 1 = 0.$

а)

Дано уравнение: $\frac{16 - x}{8} - \frac{18 - x}{12} = 0$.

Чтобы решить это уравнение, мы сначала избавимся от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 12. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 24. Умножим обе части уравнения на 24:

$24 \cdot \left( \frac{16 - x}{8} - \frac{18 - x}{12} \right) = 24 \cdot 0$

$24 \cdot \frac{16 - x}{8} - 24 \cdot \frac{18 - x}{12} = 0$

Сократим дроби, разделив 24 на знаменатели:

$3 \cdot (16 - x) - 2 \cdot (18 - x) = 0$

Теперь раскроем скобки, умножив множители на выражения в скобках:

$3 \cdot 16 - 3 \cdot x - 2 \cdot 18 - 2 \cdot (-x) = 0$

$48 - 3x - 36 + 2x = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(-3x + 2x) + (48 - 36) = 0$

$-x + 12 = 0$

Перенесем 12 в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$-x = -12$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на -1:

$x = 12$

Ответ: $12$

б)

Дано уравнение: $\frac{x - 15}{2} - \frac{2x + 1}{8} + 1 = 0$.

Найдем наименьший общий знаменатель для 2 и 8, который равен 8. Умножим все члены уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:

$8 \cdot \left( \frac{x - 15}{2} - \frac{2x + 1}{8} + 1 \right) = 8 \cdot 0$

$8 \cdot \frac{x - 15}{2} - 8 \cdot \frac{2x + 1}{8} + 8 \cdot 1 = 0$

Выполним сокращение:

$4 \cdot (x - 15) - 1 \cdot (2x + 1) + 8 = 0$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что знак "минус" перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее:

$4x - 60 - 2x - 1 + 8 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(4x - 2x) + (-60 - 1 + 8) = 0$

$2x - 53 = 0$

Перенесем -53 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 53$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{53}{2}$

$x = 26,5$

Ответ: $26,5$