Страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1037. Ученик купил тетради по 5 р. и карандаши по 7 р. Сколько тетрадей купил ученик, если известно, что за всю покупку он заплатил 44 р.?

Пусть ученик купил $x$ тетрадей и $y$ карандашей. Стоимость одной тетради — 5 р., а одного карандаша — 7 р. Общая стоимость покупки составляет 44 р.

Составим уравнение, исходя из условий задачи: $5x + 7y = 44$

В этом уравнении $x$ (количество тетрадей) и $y$ (количество карандашей) должны быть целыми положительными числами, так как нельзя купить часть предмета.

Выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $x$, так как коэффициент при нем меньше: $5x = 44 - 7y$

Поскольку $x$ — целое число, то выражение $44 - 7y$ должно делиться на 5 без остатка. Это значит, что результат вычитания $44 - 7y$ должен оканчиваться на 0 или 5. Также стоимость карандашей $7y$ не может превышать общую сумму 44 р., то есть $7y < 44$. Отсюда следует, что $y$ может принимать целые значения от 1 до 6 ($7 \cdot 6 = 42 < 44$, а $7 \cdot 7 = 49 > 44$).

Будем подставлять возможные значения $y$ в выражение $44 - 7y$ и проверять, делится ли результат на 5:

• Если $y = 1$, то $44 - 7 \cdot 1 = 37$. Число 37 не делится на 5.
• Если $y = 2$, то $44 - 7 \cdot 2 = 44 - 14 = 30$. Число 30 делится на 5. В этом случае $5x = 30$, откуда $x = 30 / 5 = 6$. Это решение нам подходит.
• Если $y = 3$, то $44 - 7 \cdot 3 = 44 - 21 = 23$. Число 23 не делится на 5.
• Если $y = 4$, то $44 - 7 \cdot 4 = 44 - 28 = 16$. Число 16 не делится на 5.
• Если $y = 5$, то $44 - 7 \cdot 5 = 44 - 35 = 9$. Число 9 не делится на 5.
• Если $y = 6$, то $44 - 7 \cdot 6 = 44 - 42 = 2$. Число 2 не делится на 5.

Единственным решением в целых положительных числах является пара $x=6$ и $y=2$. Это означает, что ученик купил 6 тетрадей и 2 карандаша.

Проверим: $6 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 30 + 14 = 44$ р. Условие выполняется.

Вопрос задачи — сколько тетрадей купил ученик. Это значение $x$.

Ответ: 6.

1039. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 20 кг муки?

Обозначим количество пакетов по 3 кг через $x$, а количество пакетов по 2 кг — через $y$.

Согласно условию задачи, общий вес муки должен составить 20 кг. На основе этого можно составить следующее уравнение:

$3x + 2y = 20$

В этом уравнении переменные $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами, так как они обозначают количество пакетов.

Чтобы найти все возможные решения, выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $y$ через $x$:

$2y = 20 - 3x$

$y = \frac{20 - 3x}{2} = 10 - \frac{3}{2}x$

Из полученной формулы видно, что для того, чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы произведение $3x$ было четным числом (так как 20 — четное число, и разность двух четных чисел является четным числом, которое затем делится на 2). Произведение $3x$ будет четным только в том случае, если $x$ является четным числом.

Также учтем, что количество пакетов не может быть отрицательным, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из условия $y \ge 0$ получаем неравенство:

$10 - \frac{3}{2}x \ge 0$

$10 \ge \frac{3}{2}x$

Умножим обе части неравенства на 2:

$20 \ge 3x$

Отсюда находим максимальное значение для $x$:

$x \le \frac{20}{3}$

$x \le 6\frac{2}{3}$

Таким образом, нам необходимо найти все четные, неотрицательные целые числа для $x$, которые не превышают $6\frac{2}{3}$. Такими числами являются: 0, 2, 4, 6.

Теперь рассмотрим каждый из возможных случаев, подставляя значения $x$ в формулу для $y$.

Случай 1: Если $x = 0$ (0 пакетов по 3 кг), то количество пакетов по 2 кг составит:
$y = 10 - \frac{3}{2} \cdot 0 = 10$.
Проверка: $3(0) + 2(10) = 0 + 20 = 20$ кг.

Случай 2: Если $x = 2$ (2 пакета по 3 кг), то количество пакетов по 2 кг составит:
$y = 10 - \frac{3}{2} \cdot 2 = 10 - 3 = 7$.
Проверка: $3(2) + 2(7) = 6 + 14 = 20$ кг.

Случай 3: Если $x = 4$ (4 пакета по 3 кг), то количество пакетов по 2 кг составит:
$y = 10 - \frac{3}{2} \cdot 4 = 10 - 6 = 4$.
Проверка: $3(4) + 2(4) = 12 + 8 = 20$ кг.

Случай 4: Если $x = 6$ (6 пакетов по 3 кг), то количество пакетов по 2 кг составит:
$y = 10 - \frac{3}{2} \cdot 6 = 10 - 9 = 1$.
Проверка: $3(6) + 2(1) = 18 + 2 = 20$ кг.

Следующее четное значение $x=8$ не подходит, так как оно больше $6\frac{2}{3}$.

Ответ: Задача имеет четыре возможных решения:
1) взять 0 пакетов по 3 кг и 10 пакетов по 2 кг;
2) взять 2 пакета по 3 кг и 7 пакетов по 2 кг;
3) взять 4 пакета по 3 кг и 4 пакета по 2 кг;
4) взять 6 пакетов по 3 кг и 1 пакет по 2 кг.

1041. В результате перестановки цифр двузначного числа оно увеличилось на 54. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число состоит из $a$ десятков и $b$ единиц. Тогда его можно представить в виде $\overline{ab}$, а его значение равно $10a + b$.

Поскольку число является двузначным, цифра десятков $a$ не может быть нулем, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, а цифра единиц $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

После перестановки цифр получается новое число $\overline{ba}$, значение которого равно $10b + a$.

Согласно условию задачи, новое число на 54 больше исходного. Составим на основе этого уравнение:

$(10b + a) - (10a + b) = 54$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$10b + a - 10a - b = 54$

$9b - 9a = 54$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$9(b - a) = 54$

Разделим обе части уравнения на 9:

$b - a = 6$

Из этого равенства следует, что цифра единиц $b$ на 6 больше цифры десятков $a$. Теперь подберем все возможные пары цифр $a$ и $b$, которые удовлетворяют этому условию.

• Если $a = 1$, то $b = 1 + 6 = 7$. Искомое число — 17. Проверка: новое число — 71. Разница: $71 - 17 = 54$. Условие выполняется.
• Если $a = 2$, то $b = 2 + 6 = 8$. Искомое число — 28. Проверка: новое число — 82. Разница: $82 - 28 = 54$. Условие выполняется.
• Если $a = 3$, то $b = 3 + 6 = 9$. Искомое число — 39. Проверка: новое число — 93. Разница: $93 - 39 = 54$. Условие выполняется.

Если взять $a = 4$, то $b = 4 + 6 = 10$, что не является цифрой. Следовательно, других вариантов для $a$ нет.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три числа.

Ответ: 17, 28, 39.

1043. Найдите значение выражения:

а) $2c(c - 4)^2 - c^2(2c - 10)$ при $c = 0,2$;

б) $(a - 4b)(4b + a)$ при $a = 1,2$, $b = -0,6$;

в) $3p(1 + 0,1p)^2 - 0,6p^2$ при $p = -2$.

а)

Чтобы найти значение выражения $2c(c - 4)^2 - c^2(2c - 10)$ при $c = 0,2$, сначала упростим его.
1. Раскроем скобку $(c - 4)^2$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(c - 4)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = c^2 - 8c + 16$.
2. Подставим результат в исходное выражение:
$2c(c^2 - 8c + 16) - c^2(2c - 10)$.
3. Раскроем оставшиеся скобки, умножив одночлены на многочлены:
$(2c \cdot c^2 - 2c \cdot 8c + 2c \cdot 16) - (c^2 \cdot 2c - c^2 \cdot 10) = (2c^3 - 16c^2 + 32c) - (2c^3 - 10c^2)$.
4. Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$2c^3 - 16c^2 + 32c - 2c^3 + 10c^2$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$(2c^3 - 2c^3) + (-16c^2 + 10c^2) + 32c = -6c^2 + 32c$.
6. Теперь подставим значение $c = 0,2$ в упрощенное выражение:
$-6c^2 + 32c = -6 \cdot (0,2)^2 + 32 \cdot 0,2 = -6 \cdot 0,04 + 6,4 = -0,24 + 6,4 = 6,16$.
Ответ: 6,16

б)

Чтобы найти значение выражения $(a - 4b)(4b + a)$ при $a = 1,2$ и $b = -0,6$, сначала упростим его.
1. Переставим слагаемые во второй скобке: $(a - 4b)(a + 4b)$.
2. Воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x=a$, $y=4b$:
$(a - 4b)(a + 4b) = a^2 - (4b)^2 = a^2 - 16b^2$.
3. Теперь подставим значения $a = 1,2$ и $b = -0,6$ в упрощенное выражение:
$a^2 - 16b^2 = (1,2)^2 - 16 \cdot (-0,6)^2 = 1,44 - 16 \cdot 0,36$.
4. Выполним вычисления:
$1,44 - 16 \cdot 0,36 = 1,44 - 5,76 = -4,32$.
Ответ: -4,32

в)

Чтобы найти значение выражения $3p(1 + 0,1p)^2 - 0,6p^2$ при $p = -2$, сначала упростим его.
1. Раскроем скобку $(1 + 0,1p)^2$ по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(1 + 0,1p)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 0,1p + (0,1p)^2 = 1 + 0,2p + 0,01p^2$.
2. Подставим результат в исходное выражение:
$3p(1 + 0,2p + 0,01p^2) - 0,6p^2$.
3. Раскроем скобки, умножив $3p$ на многочлен:
$3p \cdot 1 + 3p \cdot 0,2p + 3p \cdot 0,01p^2 - 0,6p^2 = 3p + 0,6p^2 + 0,03p^3 - 0,6p^2$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$0,03p^3 + (0,6p^2 - 0,6p^2) + 3p = 0,03p^3 + 3p$.
5. Теперь подставим значение $p = -2$ в упрощенное выражение:
$0,03p^3 + 3p = 0,03 \cdot (-2)^3 + 3 \cdot (-2) = 0,03 \cdot (-8) - 6 = -0,24 - 6 = -6,24$.
Ответ: -6,24

1036. Из двухрублёвых и пятирублёвых монет составлена сумма в 28 р. Сколько было взято двухрублёвых монет?

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы составить математическое уравнение.

Пусть $x$ — это количество двухрублёвых монет.

Пусть $y$ — это количество пятирублёвых монет.

Общая стоимость всех двухрублёвых монет составляет $2 \cdot x$ рублей.

Общая стоимость всех пятирублёвых монет составляет $5 \cdot y$ рублей.

По условию задачи, общая сумма денег равна 28 рублям. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$2x + 5y = 28$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами, так как они обозначают количество монет.

Проанализируем уравнение. Выражение $2x$ всегда будет чётным числом, так как это произведение на 2. Сумма 28 также является чётным числом. Чтобы равенство выполнялось, слагаемое $5y$ тоже должно быть чётным. Произведение $5y$ будет чётным только в том случае, если $y$ (количество пятирублёвых монет) является чётным числом (поскольку 5 — нечётное число).

Кроме того, количество монет не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из уравнения $2x = 28 - 5y$ и условия $x \ge 0$ следует, что $28 - 5y \ge 0$. Отсюда $5y \le 28$, что означает $y \le 5.6$.

Итак, мы ищем целые чётные значения для $y$ в диапазоне от 0 до 5.6. Возможные значения для $y$: 0, 2, 4.

Рассмотрим каждый из этих случаев, чтобы найти соответствующее количество двухрублёвых монет $x$.

Случай 1: Количество пятирублёвых монет $y = 0$.
Подставляем $y=0$ в уравнение:
$2x + 5(0) = 28$
$2x = 28$
$x = 14$
В этом случае было взято 14 двухрублёвых монет.
Проверка: $14 \cdot 2 + 0 \cdot 5 = 28$.

Случай 2: Количество пятирублёвых монет $y = 2$.
Подставляем $y=2$ в уравнение:
$2x + 5(2) = 28$
$2x + 10 = 28$
$2x = 18$
$x = 9$
В этом случае было взято 9 двухрублёвых монет.
Проверка: $9 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 18 + 10 = 28$.

Случай 3: Количество пятирублёвых монет $y = 4$.
Подставляем $y=4$ в уравнение:
$2x + 5(4) = 28$
$2x + 20 = 28$
$2x = 8$
$x = 4$
В этом случае было взято 4 двухрублёвые монеты.
Проверка: $4 \cdot 2 + 4 \cdot 5 = 8 + 20 = 28$.

Следующее возможное чётное значение для $y$ — это 6. Однако $5 \cdot 6 = 30$, что уже больше 28, поэтому других решений с неотрицательным количеством монет не существует.

Таким образом, задача имеет три возможных решения.

Ответ: Было взято 14, 9 или 4 двухрублёвые монеты.

1038. Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки, уплатив за покупку 320 р. Глубокая тарелка стоит 35 р., а мелкая тарелка стоит 30 р. Сколько глубоких и сколько мелких тарелок купила хозяйка?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество купленных глубоких тарелок, а $y$ — количество купленных мелких тарелок.

Стоимость одной глубокой тарелки составляет 35 рублей, следовательно, стоимость всех глубоких тарелок равна $35x$ рублей. Стоимость одной мелкой тарелки составляет 30 рублей, значит, стоимость всех мелких тарелок равна $30y$ рублей.

Общая стоимость покупки — 320 рублей. Мы можем составить уравнение, связывающее стоимость всех тарелок:

$35x + 30y = 320$

Поскольку количество тарелок ($x$ и $y$) может быть только целым и положительным числом, нам нужно найти целочисленные решения этого уравнения.

Можно решить эту задачу методом подбора, используя логические рассуждения. Сумма, потраченная на мелкие тарелки ($30y$), всегда будет числом, оканчивающимся на 0 (например, 30, 60, 90 и т.д.). Общая стоимость покупки (320 р.) также оканчивается на 0. Следовательно, сумма, потраченная на глубокие тарелки ($35x$), тоже должна оканчиваться на 0.

Произведение $35x$ будет оканчиваться на 0 только в том случае, если $x$ — чётное число.

Теперь определим максимально возможное количество глубоких тарелок. Если бы хозяйка покупала только их, она бы смогла купить не более чем $320 \div 35 \approx 9.14$ тарелок. Значит, $x$ может быть одним из следующих чётных чисел: 2, 4, 6, 8.

Проверим каждый из этих вариантов:

1. Если $x=2$ (2 глубокие тарелки):
Стоимость глубоких тарелок: $2 \cdot 35 = 70$ р.
Оставшаяся сумма на мелкие тарелки: $320 - 70 = 250$ р.
Количество мелких тарелок: $250 \div 30 = 8.33...$ Это не целое число, вариант не подходит.

2. Если $x=4$ (4 глубокие тарелки):
Стоимость глубоких тарелок: $4 \cdot 35 = 140$ р.
Оставшаяся сумма на мелкие тарелки: $320 - 140 = 180$ р.
Количество мелких тарелок: $180 \div 30 = 6$. Это целое число. Вариант подходит.

3. Если $x=6$ (6 глубоких тарелок):
Стоимость глубоких тарелок: $6 \cdot 35 = 210$ р.
Оставшаяся сумма на мелкие тарелки: $320 - 210 = 110$ р.
Количество мелких тарелок: $110 \div 30 = 3.66...$ Это не целое число, вариант не подходит.

4. Если $x=8$ (8 глубоких тарелок):
Стоимость глубоких тарелок: $8 \cdot 35 = 280$ р.
Оставшаяся сумма на мелкие тарелки: $320 - 280 = 40$ р.
Количество мелких тарелок: $40 \div 30 = 1.33...$ Это не целое число, вариант не подходит.

Таким образом, единственно возможный вариант, при котором количество обоих видов тарелок является целым числом, — это 4 глубокие и 6 мелких тарелок.

Ответ: Хозяйка купила 4 глубокие и 6 мелких тарелок.

1040. (Для работы в парах.) Купили тетради в линейку по 10 р. за каждую и тетради в клетку по 15 р. за каждую, затратив на всю покупку 320 р.

а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.

б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.

в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

1) Выполните совместно задания а) и б).

2) Распределите, кто выполняет задание в), а кто — задание г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Пусть $x$ — количество купленных тетрадей в линейку, а $y$ — количество купленных тетрадей в клетку. Стоимость одной тетради в линейку — $10$ рублей, а в клетку — $15$ рублей. Всего на покупку затратили $320$ рублей.

Составим уравнение, исходя из условий задачи: $10x + 15y = 320$

Поскольку количество тетрадей может быть только целым и неотрицательным числом, то $x$ и $y$ должны быть целыми числами, и $x \ge 0$, $y \ge 0$. Для удобства расчетов разделим все члены уравнения на их общий делитель, равный 5: $2x + 3y = 64$

Теперь решим поставленные задачи на основе этого уравнения.

а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.

Если количество тетрадей одинаково, то $x = y$. Подставим это условие в наше упрощенное уравнение: $2x + 3x = 64$ $5x = 64$ $x = \frac{64}{5} = 12.8$

Так как $12.8$ не является целым числом, купить одинаковое количество тетрадей обоих видов на указанную сумму невозможно.

Ответ: нельзя.

б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.

Нам необходимо найти все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, удовлетворяющих уравнению $2x + 3y = 64$. Выразим $x$ через $y$: $2x = 64 - 3y$ $x = \frac{64 - 3y}{2} = 32 - \frac{3}{2}y$

Чтобы $x$ был целым числом, выражение $\frac{3}{2}y$ должно быть целым, что возможно только если $y$ является четным числом. Также $y \ge 0$. Пусть $y = 2k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Подставим это в выражение для $x$: $x = 32 - \frac{3}{2}(2k) = 32 - 3k$

Так как $x \ge 0$, то $32 - 3k \ge 0$, откуда $3k \le 32$, или $k \le \frac{32}{3} \approx 10.67$. Следовательно, $k$ может принимать целые значения от 0 до 10. Найдем все возможные пары $(x, y)$, перебирая значения $k$:

• При $k=0$: $y=0$, $x=32-0=32$. Пара (32; 0).
• При $k=1$: $y=2$, $x=32-3=29$. Пара (29; 2).
• При $k=2$: $y=4$, $x=32-6=26$. Пара (26; 4).
• При $k=3$: $y=6$, $x=32-9=23$. Пара (23; 6).
• При $k=4$: $y=8$, $x=32-12=20$. Пара (20; 8).
• При $k=5$: $y=10$, $x=32-15=17$. Пара (17; 10).
• При $k=6$: $y=12$, $x=32-18=14$. Пара (14; 12).
• При $k=7$: $y=14$, $x=32-21=11$. Пара (11; 14).
• При $k=8$: $y=16$, $x=32-24=8$. Пара (8; 16).
• При $k=9$: $y=18$, $x=32-27=5$. Пара (5; 18).
• При $k=10$: $y=20$, $x=32-30=2$. Пара (2; 20).

Ответ: Возможные пары (тетради в линейку; тетради в клетку): (32; 0), (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).

в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

Общее количество тетрадей равно $S = x + y$. Нам нужно найти максимальное значение $S$ для пар, найденных в пункте б). Общее количество тетрадей как функция от $k$: $S(k) = x + y = (32 - 3k) + 2k = 32 - k$. Чтобы максимизировать $S$, нужно минимизировать $k$. Минимальное значение $k=0$. При $k=0$: $x=32, y=0$. Максимальное количество тетрадей: $S_{max} = 32 + 0 = 32$. Проверка стоимости: $32 \times 10 \text{ р.} + 0 \times 15 \text{ р.} = 320 \text{ р.}$

Ответ: 32 тетради.

г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

Общее количество тетрадей равно $S = x + y$. Нам нужно найти минимальное значение $S$ для пар, найденных в пункте б). Используя ту же формулу $S(k) = 32 - k$, чтобы минимизировать $S$, нужно максимизировать $k$. Максимальное значение $k=10$. При $k=10$: $x=2, y=20$. Минимальное количество тетрадей: $S_{min} = 2 + 20 = 22$. Проверка стоимости: $2 \times 10 \text{ р.} + 20 \times 15 \text{ р.} = 20 + 300 = 320 \text{ р.}$

Ответ: 22 тетради.

1042. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 6 — остаток 2.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. Согласно условию задачи, число $N$ должно удовлетворять двум условиям одновременно:

1. При делении на 5 давать остаток 1.
2. При делении на 6 давать остаток 2.

Эти условия можно записать в виде системы сравнений по модулю:

$N \equiv 1 \pmod{5}$
$N \equiv 2 \pmod{6}$

Из первого сравнения следует, что число $N$ можно представить в виде $N = 5k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

Из второго сравнения следует, что число $N$ можно представить в виде $N = 6m + 2$, где $m$ — некоторое целое неотрицательное число ($m \ge 0$).

Поскольку оба выражения представляют одно и то же число $N$, мы можем их приравнять:

$5k + 1 = 6m + 2$

Выразим одну переменную через другую, например, $k$ через $m$:

$5k = 6m + 1$
$k = \frac{6m + 1}{5}$

Так как $k$ должно быть целым числом, то выражение $(6m + 1)$ должно делиться на 5 нацело. Чтобы найти наименьшее натуральное число $N$, нам нужно найти наименьшее целое неотрицательное значение $m$, при котором это условие выполняется. Проверим значения $m$, начиная с 0:

• При $m = 0$: $6(0) + 1 = 1$. 1 не делится на 5.
• При $m = 1$: $6(1) + 1 = 7$. 7 не делится на 5.
• При $m = 2$: $6(2) + 1 = 13$. 13 не делится на 5.
• При $m = 3$: $6(3) + 1 = 19$. 19 не делится на 5.
• При $m = 4$: $6(4) + 1 = 25$. 25 делится на 5.

Наименьшее целое неотрицательное значение $m$, удовлетворяющее условию, — это $m=4$.

Теперь, зная $m$, найдем наименьшее число $N$, подставив $m=4$ в соответствующую формулу:

$N = 6m + 2 = 6 \cdot 4 + 2 = 24 + 2 = 26$

Проверим, действительно ли число 26 удовлетворяет обоим исходным условиям:

• $26 \div 5 = 5$ с остатком 1. (Верно)
• $26 \div 6 = 4$ с остатком 2. (Верно)

Так как мы использовали наименьшее возможное неотрицательное значение $m$, полученное число $N=26$ является наименьшим натуральным числом, которое удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 26

1044. Разложите на множители:

а) $1 + a - a^2 - a^3$;

б) $8 - b^3 + 4b - 2b^2$.

а) Чтобы разложить многочлен $1 + a - a^2 - a^3$ на множители, применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: $(1 + a) + (-a^2 - a^3)$. Из второй группы вынесем за скобки общий множитель $-a^2$. Получим: $(1 + a) - a^2(1 + a)$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(1 + a)$: $(1 + a)(1 - a^2)$. Выражение во второй скобке $(1 - a^2)$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Получаем $1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$. Подставив это в наше выражение, получим итоговый результат: $(1 + a)(1 - a)(1 + a)$, что можно записать как $(1 - a)(1 + a)^2$.
Ответ: $(1 - a)(1 + a)^2$.

б) Для разложения на множители выражения $8 - b^3 + 4b - 2b^2$ также воспользуемся методом группировки. Переставим слагаемые для удобства: $8 + 4b - 2b^2 - b^3$. Сгруппируем их попарно: $(8 + 4b) + (-2b^2 - b^3)$. Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $4$: $4(2 + b)$. Из второй группы вынесем $-b^2$: $-b^2(2 + b)$. Теперь выражение имеет вид: $4(2 + b) - b^2(2 + b)$. Вынесем общий множитель $(2 + b)$ за скобки: $(2 + b)(4 - b^2)$. Выражение во второй скобке $(4 - b^2)$ является разностью квадратов ($4 = 2^2$). Применив формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, разложим его на множители: $4 - b^2 = (2 - b)(2 + b)$. Таким образом, окончательное разложение выглядит так: $(2 + b)(2 - b)(2 + b)$, что равно $(2 - b)(2 + b)^2$.
Ответ: $(2 - b)(2 + b)^2$.