Номер 1040, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Линейное уравнение с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1040, страница 203.

Условие.

1040. (Для работы в парах.) Купили тетради в линейку по 10 р. за каждую и тетради в клетку по 15 р. за каждую, затратив на всю покупку 320 р.

а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.

б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.

в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

1) Выполните совместно задания а) и б).

2) Распределите, кто выполняет задание в), а кто — задание г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $x$ — количество купленных тетрадей в линейку, а $y$ — количество купленных тетрадей в клетку. Стоимость одной тетради в линейку — $10$ рублей, а в клетку — $15$ рублей. Всего на покупку затратили $320$ рублей.

Составим уравнение, исходя из условий задачи: $10x + 15y = 320$

Поскольку количество тетрадей может быть только целым и неотрицательным числом, то $x$ и $y$ должны быть целыми числами, и $x \ge 0$, $y \ge 0$. Для удобства расчетов разделим все члены уравнения на их общий делитель, равный 5: $2x + 3y = 64$

Теперь решим поставленные задачи на основе этого уравнения.

а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и тетрадей в клетку.

Если количество тетрадей одинаково, то $x = y$. Подставим это условие в наше упрощенное уравнение: $2x + 3x = 64$ $5x = 64$ $x = \frac{64}{5} = 12.8$

Так как $12.8$ не является целым числом, купить одинаковое количество тетрадей обоих видов на указанную сумму невозможно.

Ответ: нельзя.

б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.

Нам необходимо найти все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, удовлетворяющих уравнению $2x + 3y = 64$. Выразим $x$ через $y$: $2x = 64 - 3y$ $x = \frac{64 - 3y}{2} = 32 - \frac{3}{2}y$

Чтобы $x$ был целым числом, выражение $\frac{3}{2}y$ должно быть целым, что возможно только если $y$ является четным числом. Также $y \ge 0$. Пусть $y = 2k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Подставим это в выражение для $x$: $x = 32 - \frac{3}{2}(2k) = 32 - 3k$

Так как $x \ge 0$, то $32 - 3k \ge 0$, откуда $3k \le 32$, или $k \le \frac{32}{3} \approx 10.67$. Следовательно, $k$ может принимать целые значения от 0 до 10. Найдем все возможные пары $(x, y)$, перебирая значения $k$:

• При $k=0$: $y=0$, $x=32-0=32$. Пара (32; 0).
• При $k=1$: $y=2$, $x=32-3=29$. Пара (29; 2).
• При $k=2$: $y=4$, $x=32-6=26$. Пара (26; 4).
• При $k=3$: $y=6$, $x=32-9=23$. Пара (23; 6).
• При $k=4$: $y=8$, $x=32-12=20$. Пара (20; 8).
• При $k=5$: $y=10$, $x=32-15=17$. Пара (17; 10).
• При $k=6$: $y=12$, $x=32-18=14$. Пара (14; 12).
• При $k=7$: $y=14$, $x=32-21=11$. Пара (11; 14).
• При $k=8$: $y=16$, $x=32-24=8$. Пара (8; 16).
• При $k=9$: $y=18$, $x=32-27=5$. Пара (5; 18).
• При $k=10$: $y=20$, $x=32-30=2$. Пара (2; 20).

Ответ: Возможные пары (тетради в линейку; тетради в клетку): (32; 0), (29; 2), (26; 4), (23; 6), (20; 8), (17; 10), (14; 12), (11; 14), (8; 16), (5; 18), (2; 20).

в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

Общее количество тетрадей равно $S = x + y$. Нам нужно найти максимальное значение $S$ для пар, найденных в пункте б). Общее количество тетрадей как функция от $k$: $S(k) = x + y = (32 - 3k) + 2k = 32 - k$. Чтобы максимизировать $S$, нужно минимизировать $k$. Минимальное значение $k=0$. При $k=0$: $x=32, y=0$. Максимальное количество тетрадей: $S_{max} = 32 + 0 = 32$. Проверка стоимости: $32 \times 10 \text{ р.} + 0 \times 15 \text{ р.} = 320 \text{ р.}$

Ответ: 32 тетради.

г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

Общее количество тетрадей равно $S = x + y$. Нам нужно найти минимальное значение $S$ для пар, найденных в пункте б). Используя ту же формулу $S(k) = 32 - k$, чтобы минимизировать $S$, нужно максимизировать $k$. Максимальное значение $k=10$. При $k=10$: $x=2, y=20$. Минимальное количество тетрадей: $S_{min} = 2 + 20 = 22$. Проверка стоимости: $2 \times 10 \text{ р.} + 20 \times 15 \text{ р.} = 20 + 300 = 320 \text{ р.}$

Ответ: 22 тетради.