Номер 1042, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Линейное уравнение с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1042, страница 203.

Условие.

1042. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 6 — остаток 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. Согласно условию задачи, число $N$ должно удовлетворять двум условиям одновременно:

1. При делении на 5 давать остаток 1.
2. При делении на 6 давать остаток 2.

Эти условия можно записать в виде системы сравнений по модулю:

$N \equiv 1 \pmod{5}$
$N \equiv 2 \pmod{6}$

Из первого сравнения следует, что число $N$ можно представить в виде $N = 5k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

Из второго сравнения следует, что число $N$ можно представить в виде $N = 6m + 2$, где $m$ — некоторое целое неотрицательное число ($m \ge 0$).

Поскольку оба выражения представляют одно и то же число $N$, мы можем их приравнять:

$5k + 1 = 6m + 2$

Выразим одну переменную через другую, например, $k$ через $m$:

$5k = 6m + 1$
$k = \frac{6m + 1}{5}$

Так как $k$ должно быть целым числом, то выражение $(6m + 1)$ должно делиться на 5 нацело. Чтобы найти наименьшее натуральное число $N$, нам нужно найти наименьшее целое неотрицательное значение $m$, при котором это условие выполняется. Проверим значения $m$, начиная с 0:

• При $m = 0$: $6(0) + 1 = 1$. 1 не делится на 5.
• При $m = 1$: $6(1) + 1 = 7$. 7 не делится на 5.
• При $m = 2$: $6(2) + 1 = 13$. 13 не делится на 5.
• При $m = 3$: $6(3) + 1 = 19$. 19 не делится на 5.
• При $m = 4$: $6(4) + 1 = 25$. 25 делится на 5.

Наименьшее целое неотрицательное значение $m$, удовлетворяющее условию, — это $m=4$.

Теперь, зная $m$, найдем наименьшее число $N$, подставив $m=4$ в соответствующую формулу:

$N = 6m + 2 = 6 \cdot 4 + 2 = 24 + 2 = 26$

Проверим, действительно ли число 26 удовлетворяет обоим исходным условиям:

• $26 \div 5 = 5$ с остатком 1. (Верно)
• $26 \div 6 = 4$ с остатком 2. (Верно)

Так как мы использовали наименьшее возможное неотрицательное значение $m$, полученное число $N=26$ является наименьшим натуральным числом, которое удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 26