Номер 1039, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Линейное уравнение с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1039, страница 203.

Условие.

1039. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 20 кг муки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим количество пакетов по 3 кг через $x$, а количество пакетов по 2 кг — через $y$.

Согласно условию задачи, общий вес муки должен составить 20 кг. На основе этого можно составить следующее уравнение:

$3x + 2y = 20$

В этом уравнении переменные $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами, так как они обозначают количество пакетов.

Чтобы найти все возможные решения, выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $y$ через $x$:

$2y = 20 - 3x$

$y = \frac{20 - 3x}{2} = 10 - \frac{3}{2}x$

Из полученной формулы видно, что для того, чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы произведение $3x$ было четным числом (так как 20 — четное число, и разность двух четных чисел является четным числом, которое затем делится на 2). Произведение $3x$ будет четным только в том случае, если $x$ является четным числом.

Также учтем, что количество пакетов не может быть отрицательным, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из условия $y \ge 0$ получаем неравенство:

$10 - \frac{3}{2}x \ge 0$

$10 \ge \frac{3}{2}x$

Умножим обе части неравенства на 2:

$20 \ge 3x$

Отсюда находим максимальное значение для $x$:

$x \le \frac{20}{3}$

$x \le 6\frac{2}{3}$

Таким образом, нам необходимо найти все четные, неотрицательные целые числа для $x$, которые не превышают $6\frac{2}{3}$. Такими числами являются: 0, 2, 4, 6.

Теперь рассмотрим каждый из возможных случаев, подставляя значения $x$ в формулу для $y$.

Случай 1: Если $x = 0$ (0 пакетов по 3 кг), то количество пакетов по 2 кг составит:
$y = 10 - \frac{3}{2} \cdot 0 = 10$.
Проверка: $3(0) + 2(10) = 0 + 20 = 20$ кг.

Случай 2: Если $x = 2$ (2 пакета по 3 кг), то количество пакетов по 2 кг составит:
$y = 10 - \frac{3}{2} \cdot 2 = 10 - 3 = 7$.
Проверка: $3(2) + 2(7) = 6 + 14 = 20$ кг.

Случай 3: Если $x = 4$ (4 пакета по 3 кг), то количество пакетов по 2 кг составит:
$y = 10 - \frac{3}{2} \cdot 4 = 10 - 6 = 4$.
Проверка: $3(4) + 2(4) = 12 + 8 = 20$ кг.

Случай 4: Если $x = 6$ (6 пакетов по 3 кг), то количество пакетов по 2 кг составит:
$y = 10 - \frac{3}{2} \cdot 6 = 10 - 9 = 1$.
Проверка: $3(6) + 2(1) = 18 + 2 = 20$ кг.

Следующее четное значение $x=8$ не подходит, так как оно больше $6\frac{2}{3}$.

Ответ: Задача имеет четыре возможных решения:
1) взять 0 пакетов по 3 кг и 10 пакетов по 2 кг;
2) взять 2 пакета по 3 кг и 7 пакетов по 2 кг;
3) взять 4 пакета по 3 кг и 4 пакета по 2 кг;
4) взять 6 пакетов по 3 кг и 1 пакет по 2 кг.