Номер 1044, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Линейное уравнение с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1044, страница 203.

Условие.

1044. Разложите на множители:

а) $1 + a - a^2 - a^3$;

б) $8 - b^3 + 4b - 2b^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить многочлен $1 + a - a^2 - a^3$ на множители, применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: $(1 + a) + (-a^2 - a^3)$. Из второй группы вынесем за скобки общий множитель $-a^2$. Получим: $(1 + a) - a^2(1 + a)$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(1 + a)$: $(1 + a)(1 - a^2)$. Выражение во второй скобке $(1 - a^2)$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Получаем $1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$. Подставив это в наше выражение, получим итоговый результат: $(1 + a)(1 - a)(1 + a)$, что можно записать как $(1 - a)(1 + a)^2$.
Ответ: $(1 - a)(1 + a)^2$.

б) Для разложения на множители выражения $8 - b^3 + 4b - 2b^2$ также воспользуемся методом группировки. Переставим слагаемые для удобства: $8 + 4b - 2b^2 - b^3$. Сгруппируем их попарно: $(8 + 4b) + (-2b^2 - b^3)$. Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $4$: $4(2 + b)$. Из второй группы вынесем $-b^2$: $-b^2(2 + b)$. Теперь выражение имеет вид: $4(2 + b) - b^2(2 + b)$. Вынесем общий множитель $(2 + b)$ за скобки: $(2 + b)(4 - b^2)$. Выражение во второй скобке $(4 - b^2)$ является разностью квадратов ($4 = 2^2$). Применив формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, разложим его на множители: $4 - b^2 = (2 - b)(2 + b)$. Таким образом, окончательное разложение выглядит так: $(2 + b)(2 - b)(2 + b)$, что равно $(2 - b)(2 + b)^2$.
Ответ: $(2 - b)(2 + b)^2$.