Номер 1036, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

40. Линейное уравнение с двумя переменными. Параграф 15. Линейные уравнения с двумя переменныеми и их системы. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1036, страница 203.

Условие.

1036. Из двухрублёвых и пятирублёвых монет составлена сумма в 28 р. Сколько было взято двухрублёвых монет?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы составить математическое уравнение.

Пусть $x$ — это количество двухрублёвых монет.

Пусть $y$ — это количество пятирублёвых монет.

Общая стоимость всех двухрублёвых монет составляет $2 \cdot x$ рублей.

Общая стоимость всех пятирублёвых монет составляет $5 \cdot y$ рублей.

По условию задачи, общая сумма денег равна 28 рублям. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$2x + 5y = 28$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами, так как они обозначают количество монет.

Проанализируем уравнение. Выражение $2x$ всегда будет чётным числом, так как это произведение на 2. Сумма 28 также является чётным числом. Чтобы равенство выполнялось, слагаемое $5y$ тоже должно быть чётным. Произведение $5y$ будет чётным только в том случае, если $y$ (количество пятирублёвых монет) является чётным числом (поскольку 5 — нечётное число).

Кроме того, количество монет не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из уравнения $2x = 28 - 5y$ и условия $x \ge 0$ следует, что $28 - 5y \ge 0$. Отсюда $5y \le 28$, что означает $y \le 5.6$.

Итак, мы ищем целые чётные значения для $y$ в диапазоне от 0 до 5.6. Возможные значения для $y$: 0, 2, 4.

Рассмотрим каждый из этих случаев, чтобы найти соответствующее количество двухрублёвых монет $x$.

Случай 1: Количество пятирублёвых монет $y = 0$.
Подставляем $y=0$ в уравнение:
$2x + 5(0) = 28$
$2x = 28$
$x = 14$
В этом случае было взято 14 двухрублёвых монет.
Проверка: $14 \cdot 2 + 0 \cdot 5 = 28$.

Случай 2: Количество пятирублёвых монет $y = 2$.
Подставляем $y=2$ в уравнение:
$2x + 5(2) = 28$
$2x + 10 = 28$
$2x = 18$
$x = 9$
В этом случае было взято 9 двухрублёвых монет.
Проверка: $9 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 18 + 10 = 28$.

Случай 3: Количество пятирублёвых монет $y = 4$.
Подставляем $y=4$ в уравнение:
$2x + 5(4) = 28$
$2x + 20 = 28$
$2x = 8$
$x = 4$
В этом случае было взято 4 двухрублёвые монеты.
Проверка: $4 \cdot 2 + 4 \cdot 5 = 8 + 20 = 28$.

Следующее возможное чётное значение для $y$ — это 6. Однако $5 \cdot 6 = 30$, что уже больше 28, поэтому других решений с неотрицательным количеством монет не существует.

Таким образом, задача имеет три возможных решения.

Ответ: Было взято 14, 9 или 4 двухрублёвые монеты.