Страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1007. Представьте в виде произведения:

а) $7a^3 + 7b^3$;

б) $2a^4 - 2b^4$;

в) $5a^4 + 5b^4$;

г) $2,5a^6 - 2,5b^6$;

д) $1,2a^6 + 1,2b^6$;

е) $3a^8 - 3b^8$.

а) В выражении $7a^3 + 7b^3$ вынесем общий множитель 7 за скобки: $7a^3 + 7b^3 = 7(a^3 + b^3)$. Выражение в скобках является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x=a$ и $y=b$, поэтому: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Подставив это в исходное выражение, получаем: $7(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Ответ: $7(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

б) В выражении $2a^4 - 2b^4$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a^4 - 2b^4 = 2(a^4 - b^4)$. Выражение в скобках $a^4 - b^4$ можно представить как разность квадратов $(a^2)^2 - (b^2)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, которую можно разложить дальше: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Собрав все вместе, получаем: $2(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

в) В выражении $5a^4 + 5b^4$ вынесем общий множитель 5 за скобки: $5a^4 + 5b^4 = 5(a^4 + 5b^4)$. Выражение в скобках $a^4 + b^4$ является суммой четвертых степеней. В рамках стандартных формул сокращенного умножения оно не раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Поэтому вынесение общего множителя является окончательным разложением.
Ответ: $5(a^4 + b^4)$.

г) В выражении $2,5a^6 - 2,5b^6$ вынесем общий множитель 2,5 за скобки: $2,5a^6 - 2,5b^6 = 2,5(a^6 - b^6)$. Выражение $a^6 - b^6$ можно представить как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$. Применим формулу разности квадратов: $a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$. Теперь разложим каждый из множителей по формулам разности и суммы кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ Соединив все части, получаем: $2,5(a-b)(a^2 + ab + b^2)(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Ответ: $2,5(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$.

д) В выражении $1,2a^6 + 1,2b^6$ вынесем общий множитель 1,2 за скобки: $1,2a^6 + 1,2b^6 = 1,2(a^6 + b^6)$. Выражение $a^6 + b^6$ можно представить как сумму кубов $(a^2)^3 + (b^2)^3$. Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x=a^2$ и $y=b^2$: $a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2+b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$. Таким образом, итоговое разложение: $1,2(a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.
Ответ: $1,2(a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.

е) В выражении $3a^8 - 3b^8$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3a^8 - 3b^8 = 3(a^8 - b^8)$. Выражение $a^8 - b^8$ будем последовательно раскладывать как разность квадратов: $a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$. Теперь разложим множитель $(a^4 - b^4)$: $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. И, наконец, разложим множитель $(a^2 - b^2)$: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Соберем все множители вместе: $3(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.
Ответ: $3(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.

1010. Представьте в виде произведения:

а) $2x^8 - 12x^4 + 18;$

б) $-2a^6 - 8a^3b - 8b^2;$

в) $a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5;$

г) $4x + 4xy^6 + xy^{12}.$

а) Для того чтобы представить выражение $2x^8 - 12x^4 + 18$ в виде произведения, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для коэффициентов 2, -12 и 18 является 2. Получим: $2x^8 - 12x^4 + 18 = 2(x^8 - 6x^4 + 9)$. Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^8 - 6x^4 + 9$. Его можно представить в виде квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Пусть $a = x^4$ и $b = 3$. Тогда $a^2 = (x^4)^2 = x^8$, $b^2 = 3^2 = 9$, а $2ab = 2 \cdot x^4 \cdot 3 = 6x^4$. Таким образом, выражение в скобках соответствует формуле полного квадрата: $x^8 - 6x^4 + 9 = (x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 3 + 3^2 = (x^4 - 3)^2$. Подставим это обратно в исходное выражение: $2(x^8 - 6x^4 + 9) = 2(x^4 - 3)^2$.
Ответ: $2(x^4 - 3)^2$.

б) Рассмотрим выражение $-2a^6 - 8a^3b - 8b^2$. Вынесем общий множитель -2 за скобки: $-2a^6 - 8a^3b - 8b^2 = -2(a^6 + 4a^3b + 4b^2)$. Выражение в скобках $a^6 + 4a^3b + 4b^2$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Пусть первый член это $a^3$ и второй член это $2b$. Тогда $(a^3)^2 = a^6$, $(2b)^2 = 4b^2$, а удвоенное произведение равно $2 \cdot a^3 \cdot 2b = 4a^3b$. Следовательно, выражение в скобках можно записать как: $a^6 + 4a^3b + 4b^2 = (a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot 2b + (2b)^2 = (a^3 + 2b)^2$. Возвращая общий множитель, получаем окончательный результат: $-2(a^3 + 2b)^2$.
Ответ: $-2(a^3 + 2b)^2$.

в) В выражении $a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5$ вынесем общий множитель $b$ за скобки: $a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5 = b(a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4)$. Выражение в скобках $a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4$ представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Пусть первый член это $a^2$ и второй член это $3b^2$. Тогда $(a^2)^2 = a^4$, $(3b^2)^2 = 9b^4$, а удвоенное произведение равно $2 \cdot a^2 \cdot 3b^2 = 6a^2b^2$. Таким образом, выражение в скобках равно: $a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 3b^2 + (3b^2)^2 = (a^2 + 3b^2)^2$. Итоговый вид произведения: $b(a^2 + 3b^2)^2$.
Ответ: $b(a^2 + 3b^2)^2$.

г) В выражении $4x + 4xy^6 + xy^{12}$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $4x + 4xy^6 + xy^{12} = x(4 + 4y^6 + y^{12})$. Перепишем выражение в скобках в более удобном виде: $y^{12} + 4y^6 + 4$. Это выражение является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Пусть $a = y^6$ и $b = 2$. Тогда $a^2 = (y^6)^2 = y^{12}$, $b^2 = 2^2 = 4$, а удвоенное произведение равно $2 \cdot y^6 \cdot 2 = 4y^6$. Следовательно, выражение в скобках можно записать как: $y^{12} + 4y^6 + 4 = (y^6)^2 + 2 \cdot y^6 \cdot 2 + 2^2 = (y^6 + 2)^2$. Окончательное произведение: $x(y^6 + 2)^2$.
Ответ: $x(y^6 + 2)^2$.

1013. Решите уравнение:

а) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0;$

б) $2m^3 - m^2 - 18m + 9 = 0;$

в) $y^3 - 6y^2 = 6 - y;$

г) $2a^3 + 3a^2 = 2a + 3.$

а) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$

Для решения уравнения применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 3)$ за скобки:

$(x + 3)(x^2 - 4) = 0$

Множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Ответ: $-3; -2; 2$.

б) $2m^3 - m^2 - 18m + 9 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2m^3 - m^2) + (-18m + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$m^2(2m - 1) - 9(2m - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2m - 1)$ за скобки:

$(2m - 1)(m^2 - 9) = 0$

Разложим множитель $(m^2 - 9)$ как разность квадратов:

$(2m - 1)(m - 3)(m + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:
$2m - 1 = 0 \implies 2m = 1 \implies m_1 = \frac{1}{2}$
$m - 3 = 0 \implies m_2 = 3$
$m + 3 = 0 \implies m_3 = -3$

Ответ: $-3; \frac{1}{2}; 3$.

в) $y^3 - 6y^2 = 6 - y$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^3 - 6y^2 + y - 6 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^3 - 6y^2) + (y - 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(y - 6) + 1(y - 6) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 6)$ за скобки:

$(y - 6)(y^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$y - 6 = 0 \implies y = 6$
$y^2 + 1 = 0 \implies y^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $6$.

г) $2a^3 + 3a^2 = 2a + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2a^3 + 3a^2 - 2a - 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2a^3 + 3a^2) - (2a + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^2(2a + 3) - 1(2a + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(2a + 3)$ за скобки:

$(2a + 3)(a^2 - 1) = 0$

Разложим множитель $(a^2 - 1)$ как разность квадратов:

$(2a + 3)(a - 1)(a + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:
$2a + 3 = 0 \implies 2a = -3 \implies a_1 = -\frac{3}{2}$
$a - 1 = 0 \implies a_2 = 1$
$a + 1 = 0 \implies a_3 = -1$

Ответ: $-\frac{3}{2}; -1; 1$.

1016. Представьте в виде произведения:

а) $x^2(x + 2y) - x - 2y;$

б) $x^2(2y - 5) - 8y + 20;$

в) $a^3 - 5a^2 - 4a + 20;$

г) $x^3 - 4x^2 - 9x + 36.$

а) $x^2(x + 2y) - x - 2y$

Для того чтобы представить выражение в виде произведения, сгруппируем последние два члена, вынеся за скобки $-1$.

$x^2(x + 2y) - (x + 2y)$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 2y)$, который можно вынести за скобки:

$(x + 2y)(x^2 - 1)$

Выражение во вторых скобках, $(x^2 - 1)$, является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Подставив разложенный множитель обратно, получаем окончательный вид произведения:

$(x + 2y)(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $(x + 2y)(x - 1)(x + 1)$.

б) $x^2(2y - 5) - 8y + 20$

Сначала сгруппируем последние два члена и вынесем за скобки их общий множитель. Общий множитель для $-8y$ и $20$ равен $-4$.

$x^2(2y - 5) - 4(2y - 5)$

Теперь в выражении есть общий множитель $(2y - 5)$. Вынесем его за скобки:

$(2y - 5)(x^2 - 4)$

Выражение $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов ($x^2$ и $2^2$). Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

В итоге получаем следующее произведение:

$(2y - 5)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(2y - 5)(x - 2)(x + 2)$.

в) $a^3 - 5a^2 - 4a + 20$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(a^3 - 5a^2) + (-4a + 20)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $a^2$, а из второй $-4$.

$a^2(a - 5) - 4(a - 5)$

Теперь у нас появился общий множитель $(a - 5)$, который мы можем вынести за скобки:

$(a - 5)(a^2 - 4)$

Множитель $(a^2 - 4)$ представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители:

$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$

Окончательный результат разложения на множители:

$(a - 5)(a - 2)(a + 2)$

Ответ: $(a - 5)(a - 2)(a + 2)$.

г) $x^3 - 4x^2 - 9x + 36$

Применим метод группировки для разложения этого многочлена на множители. Сгруппируем члены попарно:

$(x^3 - 4x^2) + (-9x + 36)$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой группы выносим $x^2$, из второй $-9$.

$x^2(x - 4) - 9(x - 4)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 4)$:

$(x - 4)(x^2 - 9)$

Выражение $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов ($x^2$ и $3^2$). Разложим его по формуле:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Таким образом, мы получаем итоговое произведение:

$(x - 4)(x - 3)(x + 3)$

Ответ: $(x - 4)(x - 3)(x + 3)$.

1005. При каком значении $a$ многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению $(x^2 + x - 1)(x - a)$, не содержит:

а) $x^2$;

б) $x$?

Чтобы найти значение $a$, при котором многочлен стандартного вида, равный произведению $(x^2 + x - 1)(x - a)$, не содержит определенные члены, сначала выполним умножение многочленов и приведем результат к стандартному виду.

$(x^2 + x - 1)(x - a) = x \cdot (x^2 + x - 1) - a \cdot (x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x - ax^2 - ax + a$

Теперь сгруппируем подобные члены:

$x^3 + (x^2 - ax^2) + (-x - ax) + a = x^3 + (1 - a)x^2 + (-1 - a)x + a$

Итак, многочлен в стандартном виде: $x^3 + (1 - a)x^2 - (1 + a)x + a$.

Теперь рассмотрим условия задачи.

а) Многочлен не содержит $x^2$.

Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю. Коэффициент при $x^2$ в нашем многочлене равен $(1 - a)$.

Приравняем его к нулю и решим уравнение:

$1 - a = 0$

$a = 1$

Ответ: $1$.

б) Многочлен не содержит $x$.

Это означает, что коэффициент при $x$ в первой степени должен быть равен нулю. Коэффициент при $x$ в нашем многочлене равен $-(1 + a)$.

Приравняем его к нулю и решим уравнение:

$-(1 + a) = 0$

$1 + a = 0$

$a = -1$

Ответ: $-1$.

1008. Докажите, что число, равное разности $111111 - 222$, является квадратом натурального числа.

Для доказательства того, что число, равное разности $111 111 - 222$, является квадратом натурального числа, выполним алгебраические преобразования этого выражения.

Сначала представим числа $111 111$ и $222$ через общий множитель. Заметим, что $111 111 = 111 \times 1001$ и $222 = 111 \times 2$.
Подставим эти выражения в исходную разность:
$111 111 - 222 = 111 \times 1001 - 111 \times 2$

Вынесем общий множитель $111$ за скобки:
$111 \times (1001 - 2) = 111 \times 999$

Далее представим число $999$ как произведение $9 \times 111$ и преобразуем полученное выражение:
$111 \times 999 = 111 \times (9 \times 111) = 111 \times 9 \times 111 = 111^2 \times 9$

Поскольку число $9$ является квадратом числа $3$ ($9 = 3^2$), мы можем представить всё выражение как полный квадрат, используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$111^2 \times 9 = 111^2 \times 3^2 = (111 \times 3)^2 = 333^2$

Таким образом, мы показали, что $111 111 - 222 = 333^2$. Так как $333$ — это натуральное число, исходное число является квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное число равно $333^2$, что доказывает, что оно является квадратом натурального числа.

1011. Разложите на множители:

а) $70a - 84b + 20ab - 24b^2$;

б) $21bc^2 - 6c - 3c^3 + 42b$;

в) $12y - 9x^2 + 36 - 3x^2y$;

г) $30a^3 - 18a^2b - 72b + 120a$.

а) Для разложения на множители выражения $70a - 84b + 20ab - 24b^2$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые: $(70a - 84b) + (20ab - 24b^2)$. Из первой группы вынесем за скобки общий множитель 14, а из второй — $4b$. Получим выражение: $14(5a - 6b) + 4b(5a - 6b)$. Теперь вынесем общий множитель $(5a - 6b)$ за скобки: $(14 + 4b)(5a - 6b)$. Из первого множителя $(14 + 4b)$ можно вынести общий множитель 2: $2(7 + 2b)$. Таким образом, окончательный вид разложения: $2(7 + 2b)(5a - 6b)$.
Ответ: $2(7 + 2b)(5a - 6b)$

б) Рассмотрим выражение $21bc^2 - 6c - 3c^3 + 42b$. Для удобства переставим слагаемые и сгруппируем их: $(21bc^2 + 42b) + (-3c^3 - 6c)$. Вынесем из первой группы общий множитель $21b$, а из второй — $-3c$. Это дает нам: $21b(c^2 + 2) - 3c(c^2 + 2)$. Теперь мы можем вынести общий для обеих групп множитель $(c^2 + 2)$: $(21b - 3c)(c^2 + 2)$. В первом множителе $(21b - 3c)$ есть общий множитель 3, который также можно вынести за скобки: $3(7b - c)$. В итоге получаем: $3(7b - c)(c^2 + 2)$.
Ответ: $3(7b - c)(c^2 + 2)$

в) Разложим на множители $12y - 9x^2 + 36 - 3x^2y$. Перегруппируем слагаемые: $(12y + 36) + (-3x^2y - 9x^2)$. Из первой группы выносим 12, из второй — $-3x^2$. Получаем: $12(y + 3) - 3x^2(y + 3)$. Выносим общий множитель $(y + 3)$: $(12 - 3x^2)(y + 3)$. Из первого множителя $(12 - 3x^2)$ выносим 3: $3(4 - x^2)$. Выражение $4 - x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(2 - x)(2 + x)$. Собирая все вместе, получаем окончательный результат: $3(y + 3)(2 - x)(2 + x)$.
Ответ: $3(y + 3)(2 - x)(2 + x)$

г) В выражении $30a^3 - 18a^2b - 72b + 120a$ сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель для всех членов. Наибольший общий делитель для коэффициентов 30, -18, -72 и 120 равен 6. Выносим 6 за скобки: $6(5a^3 - 3a^2b - 12b + 20a)$. Теперь разложим на множители выражение в скобках методом группировки. Переставим слагаемые: $6((5a^3 - 3a^2b) + (20a - 12b))$. Из первой внутренней группы вынесем $a^2$, из второй — 4: $6(a^2(5a - 3b) + 4(5a - 3b))$. Вынесем общий множитель $(5a - 3b)$: $6(a^2 + 4)(5a - 3b)$.
Ответ: $6(a^2 + 4)(5a - 3b)$

1014. Решите уравнение:

а) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0;$

б) $y^3 - y^2 = 16y - 16;$

в) $2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0;$

г) $4x^3 - 3x^2 = 4x - 3.$

а) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$
Для решения уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(x^3 - 2x^2) - (x - 2) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x - 2)(x^2 - 1) = 0$
Выражение $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - 1)(x + 1)$. Уравнение примет вид:
$(x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
Ответ: $-1; 1; 2$.

б) $y^3 - y^2 = 16y - 16$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(y^3 - y^2) - (16y - 16) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:
$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$
Разложим второй множитель $(y^2 - 16)$ по формуле разности квадратов: $(y - 4)(y + 4)$. Уравнение примет вид:
$(y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$y - 1 = 0 \implies y = 1$
$y - 4 = 0 \implies y = 4$
$y + 4 = 0 \implies y = -4$
Ответ: $-4; 1; 4$.

в) $2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0$
Воспользуемся методом группировки слагаемых:
$(2y^3 - y^2) - (32y - 16) = 0$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$y^2(2y - 1) - 16(2y - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(2y - 1)$:
$(2y - 1)(y^2 - 16) = 0$
Разложим множитель $(y^2 - 16)$ по формуле разности квадратов: $(y - 4)(y + 4)$. Получим:
$(2y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$
Находим корни, приравнивая каждый множитель к нулю:
$2y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{2}$
$y - 4 = 0 \implies y = 4$
$y + 4 = 0 \implies y = -4$
Ответ: $-4; \frac{1}{2}; 4$.

г) $4x^3 - 3x^2 = 4x - 3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$4x^3 - 3x^2 - 4x + 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(4x^3 - 3x^2) - (4x - 3) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(4x - 3) - 1(4x - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(4x - 3)$ за скобки:
$(4x - 3)(x^2 - 1) = 0$
Разложим множитель $(x^2 - 1)$ по формуле разности квадратов: $(x - 1)(x + 1)$. Получим уравнение:
$(4x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
Ответ: $-1; \frac{3}{4}; 1$.

1006. При каком значении $b$ многочлен стандартного вида, тождест-венно равный произведению $(x^2 - 10x + 6)(2x + b):

а) не содержит $x^2$;

б) имеет равные коэффициенты при $x^3$ и при $x$?

Для того чтобы найти значение $b$, сначала необходимо представить произведение многочленов в стандартном виде. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(x^2 - 10x + 6)(2x + b) = x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot b - 10x \cdot 2x - 10x \cdot b + 6 \cdot 2x + 6 \cdot b$

$= 2x^3 + bx^2 - 20x^2 - 10bx + 12x + 6b$

Теперь сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b$

Это и есть многочлен в стандартном виде. Теперь, используя его, решим поставленные задачи.

а) не содержит $x^2$

Многочлен не содержит член $x^2$, если коэффициент при $x^2$ равен нулю. Коэффициент при $x^2$ в нашем многочлене равен $(b - 20)$.

Приравняем этот коэффициент к нулю:

$b - 20 = 0$

Отсюда находим $b$:

$b = 20$

Ответ: $b = 20$.

б) имеет равные коэффициенты при $x^3$ и при $x$?

Из стандартного вида многочлена $2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b$ видим, что:

• коэффициент при $x^3$ равен $2$;
• коэффициент при $x$ равен $(12 - 10b)$.

По условию эти коэффициенты должны быть равны. Составим и решим уравнение:

$12 - 10b = 2$

Перенесем $10b$ в правую часть, а $2$ в левую:

$12 - 2 = 10b$

$10 = 10b$

Разделим обе части на $10$:

$b = 1$

Ответ: $b = 1$.

1009. Преобразуйте в произведение выражение:

а) $9c^{15} - c^{13};$

б) $x^{22} - \frac{1}{49}x^{20};$

в) $a^5 - 0.64a^2;$

г) $y^7 - 1\frac{7}{9}y^5.$

а)

Для преобразования выражения $9c^{15} - c^{13}$ в произведение сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $9c^{15}$ и $c^{13}$ является $c^{13}$, так как это наименьшая степень переменной $c$.

$9c^{15} - c^{13} = c^{13}(9c^{15-13} - c^{13-13}) = c^{13}(9c^2 - 1)$

Выражение в скобках, $9c^2 - 1$, представляет собой разность квадратов. Мы можем представить его в виде $(3c)^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$9c^2 - 1 = (3c)^2 - 1^2 = (3c - 1)(3c + 1)$

Таким образом, исходное выражение полностью раскладывается на множители:

$c^{13}(3c - 1)(3c + 1)$

Ответ: $c^{13}(3c - 1)(3c + 1)$

б)

Для выражения $x^{22} - \frac{1}{49}x^{20}$ вынесем за скобки общий множитель. Для $x^{22}$ и $\frac{1}{49}x^{20}$ общим множителем является $x^{20}$ (наименьшая степень переменной $x$).

$x^{22} - \frac{1}{49}x^{20} = x^{20}(x^{22-20} - \frac{1}{49}) = x^{20}(x^2 - \frac{1}{49})$

Выражение в скобках, $x^2 - \frac{1}{49}$, является разностью квадратов. Мы можем записать его как $x^2 - (\frac{1}{7})^2$. Используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$x^2 - (\frac{1}{7})^2 = (x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$

Следовательно, окончательное произведение имеет вид:

$x^{20}(x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$

Ответ: $x^{20}(x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$

в)

Рассмотрим выражение $a^5 - 0,64a^2$. Найдем общий множитель для его членов. Общим множителем для $a^5$ и $0,64a^2$ является $a^2$.

Вынесем $a^2$ за скобки:

$a^5 - 0,64a^2 = a^2(a^{5-2} - 0,64) = a^2(a^3 - 0,64)$

Выражение в скобках $a^3 - 0,64$ не является ни разностью квадратов (из-за нечетной степени 3 у переменной $a$), ни разностью кубов, которую можно разложить на множители с рациональными коэффициентами (поскольку $\sqrt[3]{0,64}$ не является рациональным числом). Поэтому дальнейшее разложение стандартными методами невозможно. Выражение преобразовано в произведение двух множителей: $a^2$ и $(a^3 - 0,64)$.

Ответ: $a^2(a^3 - 0,64)$

г)

Рассмотрим выражение $y^7 - 1\frac{7}{9}y^5$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$

Теперь выражение имеет вид: $y^7 - \frac{16}{9}y^5$.

Вынесем общий множитель $y^5$ за скобки:

$y^7 - \frac{16}{9}y^5 = y^5(y^{7-5} - \frac{16}{9}) = y^5(y^2 - \frac{16}{9})$

Выражение в скобках, $y^2 - \frac{16}{9}$, является разностью квадратов, так как $y^2$ — это квадрат $y$, а $\frac{16}{9}$ — это квадрат $\frac{4}{3}$.

$y^2 - \frac{16}{9} = y^2 - (\frac{4}{3})^2$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y^2 - (\frac{4}{3})^2 = (y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$

Полное разложение на множители выглядит так:

$y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$

Ответ: $y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$

1012. Преобразуйте в произведение:

а) $3a^3 - 3ab^2 + a^2b - b^3;$

б) $2x - a^2y - 2a^2x + y;$

в) $3p - 2c^3 - 3c^3p + 2;$

г) $a^4 - 24 + 8a - 3a^3.$

а) $3a^3 - 3ab^2 + a^2b - b^3$

Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первый и третий члены, а также второй и четвертый:
$(3a^3 + a^2b) + (-3ab^2 - b^3)$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:
$a^2(3a + b) - b^2(3a + b)$
Теперь вынесем общий для обеих групп множитель $(3a + b)$ за скобки:
$(a^2 - b^2)(3a + b)$
Выражение в первых скобках $(a^2 - b^2)$ является разностью квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(a - b)(a + b)(3a + b)$
Ответ: $(a - b)(a + b)(3a + b)$

б) $2x - a^2y - 2a^2x + y$

Перегруппируем члены многочлена для удобства разложения. Сгруппируем члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$:
$(2x - 2a^2x) + (y - a^2y)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$2x(1 - a^2) + y(1 - a^2)$
Вынесем общий множитель $(1 - a^2)$ за скобки:
$(1 - a^2)(2x + y)$
Выражение $(1 - a^2)$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $1 - x^2 = (1-x)(1+x)$:
$(1 - a)(1 + a)(2x + y)$
Ответ: $(1 - a)(1 + a)(2x + y)$

в) $3p - 2c^3 - 3c^3p + 2$

Перегруппируем члены многочлена. Сгруппируем члены, содержащие переменную $p$, и оставшиеся свободные члены:
$(3p - 3c^3p) + (2 - 2c^3)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$3p(1 - c^3) + 2(1 - c^3)$
Теперь вынесем общий множитель $(1 - c^3)$ за скобки:
$(3p + 2)(1 - c^3)$
Выражение $(1 - c^3)$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(3p + 2)(1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (3p + 2)(1 - c)(1 + c + c^2)$
Ответ: $(3p + 2)(1 - c)(1 + c + c^2)$

г) $a^4 - 24 + 8a - 3a^3$

Перегруппируем члены многочлена, расположив их по убыванию степеней переменной $a$:
$a^4 - 3a^3 + 8a - 24$
Сгруппируем первые два члена и последние два члена:
$(a^4 - 3a^3) + (8a - 24)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$a^3(a - 3) + 8(a - 3)$
Теперь вынесем общий множитель $(a - 3)$ за скобки:
$(a^3 + 8)(a - 3)$
Выражение $(a^3 + 8)$ является суммой кубов, так как $8 = 2^3$. Разложим его по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$(a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2)(a - 3) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a - 3)$
Ответ: $(a - 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$

1015. Разложите на множители:

а) $x^2 - y^2 - 1,5(x - y);$

б) $x^2 - a^2 + 0,5(x + a);$

в) $4a^2 - b^2 - 2a + b;$

г) $p^2 - 16c^2 - p - 4c;$

д) $a^2 + 6a + 6b - b^2;$

е) $x^2 - 7x + 7y - y^2.$

а) $x^2 - y^2 - 1,5(x - y)$

В выражении $x^2 - y^2 - 1,5(x - y)$ применим к первым двум слагаемым формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Подставим полученное разложение в исходное выражение:

$(x - y)(x + y) - 1,5(x - y)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(x - y)$:

$(x - y)((x + y) - 1,5) = (x - y)(x + y - 1,5)$

Ответ: $(x - y)(x + y - 1,5)$.

б) $x^2 - a^2 + 0,5(x + a)$

В выражении $x^2 - a^2 + 0,5(x + a)$ разложим $x^2 - a^2$ по формуле разности квадратов:

$x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$

Подставим в исходное выражение:

$(x - a)(x + a) + 0,5(x + a)$

Вынесем общий множитель $(x + a)$ за скобки:

$(x + a)((x - a) + 0,5) = (x + a)(x - a + 0,5)$

Ответ: $(x + a)(x - a + 0,5)$.

в) $4a^2 - b^2 - 2a + b$

Сгруппируем слагаемые: $(4a^2 - b^2) + (-2a + b)$.

Разложим первую группу по формуле разности квадратов: $4a^2 - b^2 = (2a)^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$.

Во второй группе вынесем -1 за скобки: $-(2a - b)$.

Получим выражение:

$(2a - b)(2a + b) - (2a - b)$

Вынесем общий множитель $(2a - b)$ за скобки:

$(2a - b)((2a + b) - 1) = (2a - b)(2a + b - 1)$

Ответ: $(2a - b)(2a + b - 1)$.

г) $p^2 - 16c^2 - p - 4c$

Сгруппируем слагаемые: $(p^2 - 16c^2) - (p + 4c)$.

Разложим первую группу по формуле разности квадратов: $p^2 - 16c^2 = p^2 - (4c)^2 = (p - 4c)(p + 4c)$.

Подставим в сгруппированное выражение:

$(p - 4c)(p + 4c) - (p + 4c)$

Вынесем общий множитель $(p + 4c)$ за скобки:

$(p + 4c)((p - 4c) - 1) = (p + 4c)(p - 4c - 1)$

Ответ: $(p + 4c)(p - 4c - 1)$.

д) $a^2 + 6a + 6b - b^2$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a^2 - b^2) + (6a + 6b)$.

Разложим первую группу по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель 6: $6a + 6b = 6(a + b)$.

Выражение примет вид:

$(a - b)(a + b) + 6(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)((a - b) + 6) = (a + b)(a - b + 6)$

Ответ: $(a + b)(a - b + 6)$.

е) $x^2 - 7x + 7y - y^2$

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - y^2) + (-7x + 7y)$.

Разложим первую группу по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель -7: $-7x + 7y = -7(x - y)$.

Выражение примет вид:

$(x - y)(x + y) - 7(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)((x + y) - 7) = (x - y)(x + y - 7)$

Ответ: $(x - y)(x + y - 7)$.