Номер 1012, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1012, страница 197.

Условие.

1012. Преобразуйте в произведение:

а) $3a^3 - 3ab^2 + a^2b - b^3;$

б) $2x - a^2y - 2a^2x + y;$

в) $3p - 2c^3 - 3c^3p + 2;$

г) $a^4 - 24 + 8a - 3a^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3a^3 - 3ab^2 + a^2b - b^3$

Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первый и третий члены, а также второй и четвертый:
$(3a^3 + a^2b) + (-3ab^2 - b^3)$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:
$a^2(3a + b) - b^2(3a + b)$
Теперь вынесем общий для обеих групп множитель $(3a + b)$ за скобки:
$(a^2 - b^2)(3a + b)$
Выражение в первых скобках $(a^2 - b^2)$ является разностью квадратов. Применим формулу сокращенного умножения $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(a - b)(a + b)(3a + b)$
Ответ: $(a - b)(a + b)(3a + b)$

б) $2x - a^2y - 2a^2x + y$

Перегруппируем члены многочлена для удобства разложения. Сгруппируем члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$:
$(2x - 2a^2x) + (y - a^2y)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$2x(1 - a^2) + y(1 - a^2)$
Вынесем общий множитель $(1 - a^2)$ за скобки:
$(1 - a^2)(2x + y)$
Выражение $(1 - a^2)$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $1 - x^2 = (1-x)(1+x)$:
$(1 - a)(1 + a)(2x + y)$
Ответ: $(1 - a)(1 + a)(2x + y)$

в) $3p - 2c^3 - 3c^3p + 2$

Перегруппируем члены многочлена. Сгруппируем члены, содержащие переменную $p$, и оставшиеся свободные члены:
$(3p - 3c^3p) + (2 - 2c^3)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$3p(1 - c^3) + 2(1 - c^3)$
Теперь вынесем общий множитель $(1 - c^3)$ за скобки:
$(3p + 2)(1 - c^3)$
Выражение $(1 - c^3)$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(3p + 2)(1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (3p + 2)(1 - c)(1 + c + c^2)$
Ответ: $(3p + 2)(1 - c)(1 + c + c^2)$

г) $a^4 - 24 + 8a - 3a^3$

Перегруппируем члены многочлена, расположив их по убыванию степеней переменной $a$:
$a^4 - 3a^3 + 8a - 24$
Сгруппируем первые два члена и последние два члена:
$(a^4 - 3a^3) + (8a - 24)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$a^3(a - 3) + 8(a - 3)$
Теперь вынесем общий множитель $(a - 3)$ за скобки:
$(a^3 + 8)(a - 3)$
Выражение $(a^3 + 8)$ является суммой кубов, так как $8 = 2^3$. Разложим его по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$(a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2)(a - 3) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a - 3)$
Ответ: $(a - 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$