Номер 1019, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1019, страница 198.

Условие.

1019. Разложите на множители:

а) $x^3 + y^3 + 2xy(x + y)$;

б) $x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2)$;

в) $2b^3 + a(a^2 - 3b^2)$;

г) $p^3 - 2p^2 + 2p - 1$;

Д) $8b^3 + 6b^2 + 3b + 1$;

е) $a^3 - 4a^2 + 20a - 125$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^3 + y^3 + 2xy(x + y)$

Для разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ для первых двух слагаемых:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Подставим это в исходное выражение:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)$

Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$, который можно вынести за скобки:

$(x + y)[(x^2 - xy + y^2) + 2xy]$

Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$(x + y)(x^2 - xy + 2xy + y^2) = (x + y)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x + y)(x^2 + xy + y^2)$

б) $x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2)$

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для первых двух слагаемых:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Подставим это в исходное выражение:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) - 5x(x^2 + xy + y^2)$

Вынесем общий множитель $(x^2 + xy + y^2)$ за скобки:

$(x^2 + xy + y^2)[(x - y) - 5x]$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x^2 + xy + y^2)(x - y - 5x) = (x^2 + xy + y^2)(-4x - y)$

Вынесем знак минус из второй скобки:

$-(4x + y)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $-(4x + y)(x^2 + xy + y^2)$

в) $2b^3 + a(a^2 - 3b^2)$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$2b^3 + a^3 - 3ab^2 = a^3 - 3ab^2 + 2b^3$

Это кубический многочлен. Попробуем найти его корень, подставляя простые значения. Если подставить $a=b$, то выражение обратится в ноль: $b^3 - 3b(b^2) + 2b^3 = b^3 - 3b^3 + 2b^3 = 0$. Значит, $(a-b)$ является одним из множителей. Разделим многочлен $a^3 - 3ab^2 + 2b^3$ на $(a-b)$ (например, столбиком), чтобы найти второй множитель:

$(a^3 - 3ab^2 + 2b^3) : (a-b) = a^2 + ab - 2b^2$

Теперь разложим на множители полученный квадратный трехчлен $a^2 + ab - 2b^2$. Его можно представить в виде $(a+2b)(a-b)$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$(a - b)(a^2 + ab - 2b^2) = (a - b)(a - b)(a + 2b) = (a - b)^2(a + 2b)$

Ответ: $(a - b)^2(a + 2b)$

г) $p^3 - 2p^2 + 2p - 1$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(p^3 - 1) + (-2p^2 + 2p)$

Применим формулу разности кубов к первой группе, а во второй вынесем общий множитель $-2p$:

$(p - 1)(p^2 + p + 1) - 2p(p - 1)$

Вынесем общий множитель $(p - 1)$ за скобки:

$(p - 1)[(p^2 + p + 1) - 2p]$

Упростим выражение во второй скобке:

$(p - 1)(p^2 + p - 2p + 1) = (p - 1)(p^2 - p + 1)$

Ответ: $(p - 1)(p^2 - p + 1)$

д) $8b^3 + 6b^2 + 3b + 1$

Сгруппируем слагаемые:

$(8b^3 + 1) + (6b^2 + 3b)$

К первой группе применим формулу суммы кубов $a^3+c^3=(a+c)(a^2-ac+c^2)$, где $a=2b$ и $c=1$. Во второй группе вынесем за скобки $3b$:

$(2b + 1)((2b)^2 - 2b \cdot 1 + 1^2) + 3b(2b + 1)$

$(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1) + 3b(2b + 1)$

Вынесем общий множитель $(2b + 1)$ за скобки:

$(2b + 1)[(4b^2 - 2b + 1) + 3b]$

Упростим выражение во второй скобке:

$(2b + 1)(4b^2 - 2b + 3b + 1) = (2b + 1)(4b^2 + b + 1)$

Ответ: $(2b + 1)(4b^2 + b + 1)$

е) $a^3 - 4a^2 + 20a - 125$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^3 - 125) + (-4a^2 + 20a)$

К первой группе применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=a$ и $y=5$. Во второй группе вынесем за скобки $-4a$:

$(a - 5)(a^2 + 5a + 25) - 4a(a - 5)$

Вынесем общий множитель $(a - 5)$ за скобки:

$(a - 5)[(a^2 + 5a + 25) - 4a]$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a - 5)(a^2 + 5a - 4a + 25) = (a - 5)(a^2 + a + 25)$

Ответ: $(a - 5)(a^2 + a + 25)$