Номер 1020, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1020, страница 198.

Условие.

1020. Представьте в виде произведения:

а) $x^3 + y^3 + 2x^2 - 2xy + 2y^2$;

б) $a^3 - b^3 + 3a^2 + 3ab + 3b^2$;

в) $a^4 + ab^3 - a^3b - b^4$;

г) $x^4 + x^3y - xy^3 - y^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^3 + y^3 + 2x^2 - 2xy + 2y^2$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся формулой суммы кубов и методом группировки.

1. Применим формулу суммы кубов к первым двум слагаемым: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

2. Выражение примет вид: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2x^2 - 2xy + 2y^2$.

3. Сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки общий множитель 2: $2x^2 - 2xy + 2y^2 = 2(x^2 - xy + y^2)$.

4. Подставим это обратно в выражение: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2(x^2 - xy + y^2)$.

5. Мы видим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - xy + y^2)((x+y) + 2) = (x^2 - xy + y^2)(x+y+2)$.

Ответ: $(x+y+2)(x^2-xy+y^2)$.

б) $a^3 - b^3 + 3a^2 + 3ab + 3b^2$

Для разложения на множители используем формулу разности кубов и метод группировки.

1. Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

2. Получаем выражение: $(a-b)(a^2 + ab + b^2) + 3a^2 + 3ab + 3b^2$.

3. В оставшейся части выражения вынесем за скобки общий множитель 3: $3(a^2 + ab + b^2)$.

4. Теперь всё выражение выглядит так: $(a-b)(a^2 + ab + b^2) + 3(a^2 + ab + b^2)$.

5. Вынесем общий множитель $(a^2 + ab + b^2)$ за скобки:

$(a^2 + ab + b^2)((a-b) + 3) = (a^2 + ab + b^2)(a-b+3)$.

Ответ: $(a-b+3)(a^2+ab+b^2)$.

в) $a^4 + ab^3 - a^3b - b^4$

Для разложения на множители воспользуемся методом группировки.

1. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4)$.

2. Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a - b) + b^3(a - b)$.

3. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a-b)$:

$(a - b)(a^3 + b^3)$.

4. Применим формулу суммы кубов к выражению в скобках: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

5. Окончательный результат разложения:

$(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

г) $x^4 + x^3y - xy^3 - y^4$

Для разложения на множители воспользуемся методом группировки.

1. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(x^4 + x^3y) - (xy^3 + y^4)$.

2. Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^3(x + y) - y^3(x + y)$.

3. Вынесем за скобки общий множитель $(x+y)$:

$(x + y)(x^3 - y^3)$.

4. Применим формулу разности кубов к выражению во второй скобке: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

5. Окончательный результат разложения:

$(x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Ответ: $(x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.