Номер 1024, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1024, страница 198.

Условие.

1024. Докажите тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$. Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу $25^2$, $45^2$, $75^2$, $115^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Докажите тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 10n$ и $b = 5$.

$(10n + 5)^2 = (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2 = 100n^2 + 100n + 25$.

Теперь вынесем общий множитель $100n$ за скобки из первых двух слагаемых:

$100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $(10n + 5)^2$ после раскрытия скобок по формуле квадрата суммы преобразуется к виду $100n^2 + 100n + 25$. Вынесение общего множителя $100n$ из первых двух слагаемых дает выражение $100n(n + 1) + 25$, что и требовалось доказать.

Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5.

Любое натуральное число, которое оканчивается на 5, можно представить в виде $10n + 5$, где $n$ — это целое неотрицательное число, образованное всеми цифрами исходного числа, кроме последней цифры 5.

Тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$ показывает, как вычислить квадрат такого числа. Выражение $100n(n + 1)$ означает, что мы умножаем число $n$ на следующее за ним число $(n+1)$ и результат умножаем на 100 (то есть приписываем два нуля в конце). Прибавление 25 к этому результату означает, что вместо двух нулей в конце будут стоять цифры 2 и 5.

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся на 5, нужно число, образованное его цифрами до пятерки, умножить на следующее по порядку натуральное число, а затем к полученному результату приписать справа число 25.

Ответ: Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся на 5, нужно число, состоящее из всех его цифр, кроме последней, умножить на это же число, увеличенное на единицу, и к полученному произведению приписать справа 25.

Найдите по этому правилу $25^2$, $45^2$, $75^2$, $115^2$.

Применим сформулированное правило для каждого из чисел:

Для $25^2$: число без последней пятерки — это $n=2$. Умножаем 2 на следующее число (3): $2 \cdot (2+1) = 2 \cdot 3 = 6$. Приписываем 25. Получаем 625.

Для $45^2$: число без последней пятерки — это $n=4$. Умножаем 4 на следующее число (5): $4 \cdot (4+1) = 4 \cdot 5 = 20$. Приписываем 25. Получаем 2025.

Для $75^2$: число без последней пятерки — это $n=7$. Умножаем 7 на следующее число (8): $7 \cdot (7+1) = 7 \cdot 8 = 56$. Приписываем 25. Получаем 5625.

Для $115^2$: число без последней пятерки — это $n=11$. Умножаем 11 на следующее число (12): $11 \cdot (11+1) = 11 \cdot 12 = 132$. Приписываем 25. Получаем 13225.

Ответ: $25^2 = 625$; $45^2 = 2025$; $75^2 = 5625$; $115^2 = 13225$.