Номер 1018, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1018, страница 198.

Условие.

1018. Преобразуйте в произведение выражение:

а) $a^2 + b^2 - 2ab - 25$;

б) $36 - b^2 - c^2 + 2bc$;

в) $49 - 2ax - a^2 - x^2$;

г) $b^2 - a^2 - 12a - 36$;

д) $81a^2 + 6bc - 9b^2 - c^2$;

е) $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $a^2 + b^2 - 2ab - 25$
Сгруппируем первые три слагаемых выражения: $a^2 - 2ab + b^2$. Это формула квадрата разности $(a-b)^2$.
Исходное выражение можно переписать в виде: $(a-b)^2 - 25$.
Теперь мы имеем разность квадратов, так как $25 = 5^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a-b$ и $y = 5$.
Получаем: $(a-b)^2 - 5^2 = ((a-b) - 5)((a-b) + 5) = (a-b-5)(a-b+5)$.
Ответ: $(a-b-5)(a-b+5)$.

б) $36 - b^2 - c^2 + 2bc$
Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых: $36 - (b^2 - 2bc + c^2)$.
Выражение в скобках, $b^2 - 2bc + c^2$, является полным квадратом разности $(b-c)^2$.
Выражение принимает вид $36 - (b-c)^2$. Это разность квадратов, так как $36 = 6^2$.
Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=6$ и $y=b-c$.
Получаем: $6^2 - (b-c)^2 = (6 - (b-c))(6 + (b-c)) = (6-b+c)(6+b-c)$.
Ответ: $(6-b+c)(6+b-c)$.

в) $49 - 2ax - a^2 - x^2$
Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых: $49 - (a^2 + 2ax + x^2)$.
Выражение в скобках, $a^2 + 2ax + x^2$, является полным квадратом суммы $(a+x)^2$.
Выражение принимает вид $49 - (a+x)^2$. Это разность квадратов, так как $49=7^2$.
Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=7$ и $y=a+x$.
Получаем: $7^2 - (a+x)^2 = (7 - (a+x))(7 + (a+x)) = (7-a-x)(7+a+x)$.
Ответ: $(7-a-x)(7+a+x)$.

г) $b^2 - a^2 - 12a - 36$
Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых: $b^2 - (a^2 + 12a + 36)$.
Выражение в скобках, $a^2 + 12a + 36$, является полным квадратом суммы, так как $a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a+6)^2$.
Выражение принимает вид $b^2 - (a+6)^2$. Это разность квадратов.
Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=b$ и $y=a+6$.
Получаем: $(b - (a+6))(b + (a+6)) = (b-a-6)(b+a+6)$.
Ответ: $(b-a-6)(b+a+6)$.

д) $81a^2 + 6bc - 9b^2 - c^2$
Перегруппируем слагаемые и вынесем минус за скобки: $81a^2 - (9b^2 - 6bc + c^2)$.
Выражение в скобках, $9b^2 - 6bc + c^2$, является полным квадратом разности: $(3b)^2 - 2 \cdot (3b) \cdot c + c^2 = (3b-c)^2$.
Выражение принимает вид $81a^2 - (3b-c)^2$. Представим $81a^2$ как $(9a)^2$. Получаем $(9a)^2 - (3b-c)^2$.
Это разность квадратов. Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=9a$ и $y=3b-c$.
Получаем: $(9a - (3b-c))(9a + (3b-c)) = (9a-3b+c)(9a+3b-c)$.
Ответ: $(9a-3b+c)(9a+3b-c)$.

е) $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1$
Перегруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты. Для этого представим $-4bc$ как $-2bc - 2bc$:
$b^2c^2 - 2bc - b^2 - 2bc - c^2 + 1$.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(b^2c^2 - 2bc + 1) - (b^2 + 2bc + c^2)$.
Первая скобка $b^2c^2 - 2bc + 1$ является квадратом разности $(bc-1)^2$.
Вторая скобка $b^2 + 2bc + c^2$ является квадратом суммы $(b+c)^2$.
Выражение принимает вид $(bc-1)^2 - (b+c)^2$. Это разность квадратов.
Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=bc-1$ и $y=b+c$.
Получаем: $((bc-1) - (b+c))((bc-1) + (b+c)) = (bc-b-c-1)(bc+b+c-1)$.
Ответ: $(bc-b-c-1)(bc+b+c-1)$.