Номер 1021, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1021, страница 198.

Условие.

1021. Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:

а) $x^2 - 2xy + y^2 + a^2$;

б) $4x^2 + a^2 - 4x + 1$;

в) $9b^2 - 6b + 4c^2 + 1$;

г) $a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1$;

д) $x^2 - 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1$;

е) $x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что многочлен $x^2 - 2xy + y^2 + a^2$ принимает лишь неотрицательные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Первые три слагаемых $x^2 - 2xy + y^2$ представляют собой формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Таким образом, исходный многочлен можно записать в виде: $(x-y)^2 + a^2$. Выражение $(x-y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда больше либо равно нулю: $(x-y)^2 \ge 0$. Аналогично, $a^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых также всегда неотрицательна: $(x-y)^2 + a^2 \ge 0$. Следовательно, многочлен принимает лишь неотрицательные значения при любых действительных значениях переменных $x, y, a$.
Ответ: Доказано.

б) Рассмотрим многочлен $4x^2 + a^2 - 4x + 1$. Перегруппируем слагаемые для выделения полного квадрата: $(4x^2 - 4x + 1) + a^2$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = (2x-1)^2$. Следовательно, многочлен можно представить в виде: $(2x-1)^2 + a^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(2x-1)^2 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $(2x-1)^2 + a^2 \ge 0$. Таким образом, многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
Ответ: Доказано.

в) Рассмотрим многочлен $9b^2 - 6b + 4c^2 + 1$. Перегруппируем слагаемые: $(9b^2 - 6b + 1) + 4c^2$. Выражение в скобках $9b^2 - 6b + 1$ является полным квадратом разности: $(3b)^2 - 2 \cdot (3b) \cdot 1 + 1^2 = (3b-1)^2$. Второе слагаемое $4c^2$ также является квадратом: $(2c)^2$. Таким образом, многочлен можно представить как сумму квадратов: $(3b-1)^2 + (2c)^2$. Поскольку $(3b-1)^2 \ge 0$ и $(2c)^2 \ge 0$ для любых действительных $b$ и $c$, их сумма также неотрицательна. Следовательно, многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
Ответ: Доказано.

г) Рассмотрим многочлен $a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1$. Чтобы выделить полные квадраты, представим $2b^2$ в виде $b^2 + b^2$ и перегруппируем слагаемые: $(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2b + 1)$. Первое выражение в скобках — это квадрат суммы: $(a+b)^2$. Второе выражение в скобках — это также квадрат суммы: $(b+1)^2$. Таким образом, исходный многочлен равен сумме двух квадратов: $(a+b)^2 + (b+1)^2$. Каждое слагаемое в этой сумме неотрицательно, так как является квадратом: $(a+b)^2 \ge 0$ и $(b+1)^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна.
Ответ: Доказано.

д) Рассмотрим многочлен $x^2 - 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1$. Для преобразования представим член $-4xy$ в виде суммы $-2xy - 2xy$ и перегруппируем слагаемые: $(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2y^2 - 2xy + 1)$. Первая группа слагаемых является квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Вторая группа слагаемых также является квадратом разности: $x^2y^2 - 2xy + 1 = (xy)^2 - 2(xy)(1) + 1^2 = (xy-1)^2$. Таким образом, многочлен можно представить в виде суммы двух квадратов: $(x-y)^2 + (xy-1)^2$. Так как оба слагаемых являются квадратами, они неотрицательны: $(x-y)^2 \ge 0$ и $(xy-1)^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна.
Ответ: Доказано.

е) Рассмотрим многочлен $x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$, и дополним их до полных квадратов. $(x^2 + 2x) + (y^2 + 6y) + 10$. Для получения полного квадрата из $x^2 + 2x$ нужно добавить 1: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Для получения полного квадрата из $y^2 + 6y$ нужно добавить 9: $y^2 + 6y + 9 = (y+3)^2$. Представим свободный член $10$ как $1+9$. Многочлен можно переписать в виде: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9)$. Это равносильно сумме двух квадратов: $(x+1)^2 + (y+3)^2$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ и $(y+3)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, их сумма всегда неотрицательна.
Ответ: Доказано.