Номер 1022, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1022, страница 198.

Условие.

1022. Может ли выражение:

а) $a^2 + 16a + 64$ принимать отрицательные значения;

б) $-b^2 - 25 + 10b$ принимать положительные значения;

в) $-x^2 + 6x - 9$ принимать неотрицательные значения;

г) $(y + 10)^2 - 0,1$ принимать отрицательные значения;

д) $0,001 - (a + 100)^2$ принимать положительные значения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассмотрим выражение $a^2 + 16a + 64$. Это выражение можно преобразовать, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном случае $x = a$ и $y = 8$, так как $2 \cdot a \cdot 8 = 16a$ и $8^2 = 64$. Следовательно, выражение можно записать в виде $(a+8)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a+8)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Таким образом, данное выражение не может принимать отрицательные значения.
Ответ: не может.

б) Рассмотрим выражение $-b^2 - 25 + 10b$. Переставим слагаемые для удобства: $-b^2 + 10b - 25$. Вынесем знак минуса за скобки: $-(b^2 - 10b + 25)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x = b$ и $y = 5$. Таким образом, $b^2 - 10b + 25 = (b-5)^2$. Исходное выражение равно $-(b-5)^2$. Так как $(b-5)^2 \ge 0$ для любого $b$, то выражение $-(b-5)^2$ всегда будет неположительным, то есть $-(b-5)^2 \le 0$. Следовательно, оно не может принимать положительные значения.
Ответ: не может.

в) Рассмотрим выражение $-x^2 + 6x - 9$. Вынесем знак минуса за скобки: $-(x^2 - 6x + 9)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-3)^2$. Значит, исходное выражение можно записать как $-(x-3)^2$. Квадрат любого числа $(x-3)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Соответственно, выражение $-(x-3)^2$ всегда неположительно, то есть $-(x-3)^2 \le 0$. Вопрос в том, может ли выражение принимать неотрицательные значения (то есть значения $\ge 0$). Да, может. Если $x=3$, то выражение равно $-(3-3)^2 = -0^2 = 0$. Число 0 является неотрицательным.
Ответ: может.

г) Рассмотрим выражение $(y + 10)^2 - 0,1$. Чтобы это выражение принимало отрицательные значения, должно выполняться неравенство $(y + 10)^2 - 0,1 < 0$. Это эквивалентно неравенству $(y + 10)^2 < 0,1$. Так как $(y + 10)^2$ является квадратом, его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при $y = -10$. Подставим $y = -10$ в исходное выражение: $(-10 + 10)^2 - 0,1 = 0^2 - 0,1 = -0,1$. Так как $-0,1$ является отрицательным числом, то выражение может принимать отрицательные значения.
Ответ: может.

д) Рассмотрим выражение $0,001 - (a + 100)^2$. Чтобы это выражение принимало положительные значения, должно выполняться неравенство $0,001 - (a + 100)^2 > 0$. Это эквивалентно неравенству $(a + 100)^2 < 0,001$. Выражение $(a + 100)^2$ является квадратом, его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при $a = -100$. Подставим $a = -100$ в исходное выражение: $0,001 - (-100 + 100)^2 = 0,001 - 0^2 = 0,001$. Так как $0,001$ является положительным числом, то выражение может принимать положительные значения.
Ответ: может.