Страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1019. Разложите на множители:

а) $x^3 + y^3 + 2xy(x + y)$;

б) $x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2)$;

в) $2b^3 + a(a^2 - 3b^2)$;

г) $p^3 - 2p^2 + 2p - 1$;

Д) $8b^3 + 6b^2 + 3b + 1$;

е) $a^3 - 4a^2 + 20a - 125$.

а) $x^3 + y^3 + 2xy(x + y)$

Для разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ для первых двух слагаемых:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Подставим это в исходное выражение:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)$

Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$, который можно вынести за скобки:

$(x + y)[(x^2 - xy + y^2) + 2xy]$

Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$(x + y)(x^2 - xy + 2xy + y^2) = (x + y)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x + y)(x^2 + xy + y^2)$

б) $x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2)$

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для первых двух слагаемых:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Подставим это в исходное выражение:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) - 5x(x^2 + xy + y^2)$

Вынесем общий множитель $(x^2 + xy + y^2)$ за скобки:

$(x^2 + xy + y^2)[(x - y) - 5x]$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x^2 + xy + y^2)(x - y - 5x) = (x^2 + xy + y^2)(-4x - y)$

Вынесем знак минус из второй скобки:

$-(4x + y)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $-(4x + y)(x^2 + xy + y^2)$

в) $2b^3 + a(a^2 - 3b^2)$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$2b^3 + a^3 - 3ab^2 = a^3 - 3ab^2 + 2b^3$

Это кубический многочлен. Попробуем найти его корень, подставляя простые значения. Если подставить $a=b$, то выражение обратится в ноль: $b^3 - 3b(b^2) + 2b^3 = b^3 - 3b^3 + 2b^3 = 0$. Значит, $(a-b)$ является одним из множителей. Разделим многочлен $a^3 - 3ab^2 + 2b^3$ на $(a-b)$ (например, столбиком), чтобы найти второй множитель:

$(a^3 - 3ab^2 + 2b^3) : (a-b) = a^2 + ab - 2b^2$

Теперь разложим на множители полученный квадратный трехчлен $a^2 + ab - 2b^2$. Его можно представить в виде $(a+2b)(a-b)$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$(a - b)(a^2 + ab - 2b^2) = (a - b)(a - b)(a + 2b) = (a - b)^2(a + 2b)$

Ответ: $(a - b)^2(a + 2b)$

г) $p^3 - 2p^2 + 2p - 1$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(p^3 - 1) + (-2p^2 + 2p)$

Применим формулу разности кубов к первой группе, а во второй вынесем общий множитель $-2p$:

$(p - 1)(p^2 + p + 1) - 2p(p - 1)$

Вынесем общий множитель $(p - 1)$ за скобки:

$(p - 1)[(p^2 + p + 1) - 2p]$

Упростим выражение во второй скобке:

$(p - 1)(p^2 + p - 2p + 1) = (p - 1)(p^2 - p + 1)$

Ответ: $(p - 1)(p^2 - p + 1)$

д) $8b^3 + 6b^2 + 3b + 1$

Сгруппируем слагаемые:

$(8b^3 + 1) + (6b^2 + 3b)$

К первой группе применим формулу суммы кубов $a^3+c^3=(a+c)(a^2-ac+c^2)$, где $a=2b$ и $c=1$. Во второй группе вынесем за скобки $3b$:

$(2b + 1)((2b)^2 - 2b \cdot 1 + 1^2) + 3b(2b + 1)$

$(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1) + 3b(2b + 1)$

Вынесем общий множитель $(2b + 1)$ за скобки:

$(2b + 1)[(4b^2 - 2b + 1) + 3b]$

Упростим выражение во второй скобке:

$(2b + 1)(4b^2 - 2b + 3b + 1) = (2b + 1)(4b^2 + b + 1)$

Ответ: $(2b + 1)(4b^2 + b + 1)$

е) $a^3 - 4a^2 + 20a - 125$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^3 - 125) + (-4a^2 + 20a)$

К первой группе применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=a$ и $y=5$. Во второй группе вынесем за скобки $-4a$:

$(a - 5)(a^2 + 5a + 25) - 4a(a - 5)$

Вынесем общий множитель $(a - 5)$ за скобки:

$(a - 5)[(a^2 + 5a + 25) - 4a]$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a - 5)(a^2 + 5a - 4a + 25) = (a - 5)(a^2 + a + 25)$

Ответ: $(a - 5)(a^2 + a + 25)$

1022. Может ли выражение:

а) $a^2 + 16a + 64$ принимать отрицательные значения;

б) $-b^2 - 25 + 10b$ принимать положительные значения;

в) $-x^2 + 6x - 9$ принимать неотрицательные значения;

г) $(y + 10)^2 - 0,1$ принимать отрицательные значения;

д) $0,001 - (a + 100)^2$ принимать положительные значения?

а) Рассмотрим выражение $a^2 + 16a + 64$. Это выражение можно преобразовать, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном случае $x = a$ и $y = 8$, так как $2 \cdot a \cdot 8 = 16a$ и $8^2 = 64$. Следовательно, выражение можно записать в виде $(a+8)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a+8)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Таким образом, данное выражение не может принимать отрицательные значения.
Ответ: не может.

б) Рассмотрим выражение $-b^2 - 25 + 10b$. Переставим слагаемые для удобства: $-b^2 + 10b - 25$. Вынесем знак минуса за скобки: $-(b^2 - 10b + 25)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x = b$ и $y = 5$. Таким образом, $b^2 - 10b + 25 = (b-5)^2$. Исходное выражение равно $-(b-5)^2$. Так как $(b-5)^2 \ge 0$ для любого $b$, то выражение $-(b-5)^2$ всегда будет неположительным, то есть $-(b-5)^2 \le 0$. Следовательно, оно не может принимать положительные значения.
Ответ: не может.

в) Рассмотрим выражение $-x^2 + 6x - 9$. Вынесем знак минуса за скобки: $-(x^2 - 6x + 9)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-3)^2$. Значит, исходное выражение можно записать как $-(x-3)^2$. Квадрат любого числа $(x-3)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Соответственно, выражение $-(x-3)^2$ всегда неположительно, то есть $-(x-3)^2 \le 0$. Вопрос в том, может ли выражение принимать неотрицательные значения (то есть значения $\ge 0$). Да, может. Если $x=3$, то выражение равно $-(3-3)^2 = -0^2 = 0$. Число 0 является неотрицательным.
Ответ: может.

г) Рассмотрим выражение $(y + 10)^2 - 0,1$. Чтобы это выражение принимало отрицательные значения, должно выполняться неравенство $(y + 10)^2 - 0,1 < 0$. Это эквивалентно неравенству $(y + 10)^2 < 0,1$. Так как $(y + 10)^2$ является квадратом, его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при $y = -10$. Подставим $y = -10$ в исходное выражение: $(-10 + 10)^2 - 0,1 = 0^2 - 0,1 = -0,1$. Так как $-0,1$ является отрицательным числом, то выражение может принимать отрицательные значения.
Ответ: может.

д) Рассмотрим выражение $0,001 - (a + 100)^2$. Чтобы это выражение принимало положительные значения, должно выполняться неравенство $0,001 - (a + 100)^2 > 0$. Это эквивалентно неравенству $(a + 100)^2 < 0,001$. Выражение $(a + 100)^2$ является квадратом, его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при $a = -100$. Подставим $a = -100$ в исходное выражение: $0,001 - (-100 + 100)^2 = 0,001 - 0^2 = 0,001$. Так как $0,001$ является положительным числом, то выражение может принимать положительные значения.
Ответ: может.

1017. Разложите на множители:

а) $a^2 - b^2 + 2(a + b)^2;$

б) $b^2 - c^2 - 10(b - c)^2;$

в) $2(x - y)^2 + 3x^2 - 3y^2;$

г) $5a^2 - 5 - 4(a + 1)^2.$

а) $a^2 - b^2 + 2(a + b)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(a - b)(a + b) + 2(a + b)^2$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b) \cdot ((a - b) + 2(a + b))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые во второй скобке:

$(a + b) \cdot (a - b + 2a + 2b) = (a + b) \cdot (3a + b)$

Ответ: $(a + b)(3a + b)$

б) $b^2 - c^2 - 10(b - c)^2$

Применим формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$:

$(b - c)(b + c) - 10(b - c)^2$

Вынесем общий множитель $(b - c)$ за скобки:

$(b - c) \cdot ((b + c) - 10(b - c))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые во второй скобке:

$(b - c) \cdot (b + c - 10b + 10c) = (b - c) \cdot (-9b + 11c)$

Ответ: $(b - c)(11c - 9b)$

в) $2(x - y)^2 + 3x^2 - 3y^2$

Вынесем общий множитель 3 из последних двух слагаемых и применим формулу разности квадратов:

$3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2) = 3(x - y)(x + y)$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$2(x - y)^2 + 3(x - y)(x + y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y) \cdot (2(x - y) + 3(x + y))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые во второй скобке:

$(x - y) \cdot (2x - 2y + 3x + 3y) = (x - y) \cdot (5x + y)$

Ответ: $(x - y)(5x + y)$

г) $5a^2 - 5 - 4(a + 1)^2$

Вынесем общий множитель 5 из первых двух слагаемых и применим формулу разности квадратов:

$5a^2 - 5 = 5(a^2 - 1) = 5(a - 1)(a + 1)$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$5(a - 1)(a + 1) - 4(a + 1)^2$

Вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки:

$(a + 1) \cdot (5(a - 1) - 4(a + 1))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые во второй скобке:

$(a + 1) \cdot (5a - 5 - 4a - 4) = (a + 1) \cdot (a - 9)$

Ответ: $(a + 1)(a - 9)$

1020. Представьте в виде произведения:

а) $x^3 + y^3 + 2x^2 - 2xy + 2y^2$;

б) $a^3 - b^3 + 3a^2 + 3ab + 3b^2$;

в) $a^4 + ab^3 - a^3b - b^4$;

г) $x^4 + x^3y - xy^3 - y^4$.

а) $x^3 + y^3 + 2x^2 - 2xy + 2y^2$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся формулой суммы кубов и методом группировки.

1. Применим формулу суммы кубов к первым двум слагаемым: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

2. Выражение примет вид: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2x^2 - 2xy + 2y^2$.

3. Сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки общий множитель 2: $2x^2 - 2xy + 2y^2 = 2(x^2 - xy + y^2)$.

4. Подставим это обратно в выражение: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2(x^2 - xy + y^2)$.

5. Мы видим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - xy + y^2)((x+y) + 2) = (x^2 - xy + y^2)(x+y+2)$.

Ответ: $(x+y+2)(x^2-xy+y^2)$.

б) $a^3 - b^3 + 3a^2 + 3ab + 3b^2$

Для разложения на множители используем формулу разности кубов и метод группировки.

1. Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

2. Получаем выражение: $(a-b)(a^2 + ab + b^2) + 3a^2 + 3ab + 3b^2$.

3. В оставшейся части выражения вынесем за скобки общий множитель 3: $3(a^2 + ab + b^2)$.

4. Теперь всё выражение выглядит так: $(a-b)(a^2 + ab + b^2) + 3(a^2 + ab + b^2)$.

5. Вынесем общий множитель $(a^2 + ab + b^2)$ за скобки:

$(a^2 + ab + b^2)((a-b) + 3) = (a^2 + ab + b^2)(a-b+3)$.

Ответ: $(a-b+3)(a^2+ab+b^2)$.

в) $a^4 + ab^3 - a^3b - b^4$

Для разложения на множители воспользуемся методом группировки.

1. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4)$.

2. Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a - b) + b^3(a - b)$.

3. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a-b)$:

$(a - b)(a^3 + b^3)$.

4. Применим формулу суммы кубов к выражению в скобках: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

5. Окончательный результат разложения:

$(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

г) $x^4 + x^3y - xy^3 - y^4$

Для разложения на множители воспользуемся методом группировки.

1. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(x^4 + x^3y) - (xy^3 + y^4)$.

2. Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^3(x + y) - y^3(x + y)$.

3. Вынесем за скобки общий множитель $(x+y)$:

$(x + y)(x^3 - y^3)$.

4. Применим формулу разности кубов к выражению во второй скобке: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

5. Окончательный результат разложения:

$(x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Ответ: $(x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

1023. Делится ли на 5 при любом целом $n$ выражение:

a) $(2n + 3)(3n - 7) - (n + 1)(n - 1);$

б) $(7n + 8)(n - 1) + (3n - 2)(n + 2)?$

а) Чтобы определить, делится ли выражение на 5, упростим его.
Раскроем скобки:
$(2n + 3)(3n - 7) - (n + 1)(n - 1) = (2n \cdot 3n - 7 \cdot 2n + 3 \cdot 3n - 3 \cdot 7) - (n^2 - 1^2) = (6n^2 - 14n + 9n - 21) - (n^2 - 1) = 6n^2 - 5n - 21 - n^2 + 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(6n^2 - n^2) - 5n + (-21 + 1) = 5n^2 - 5n - 20$.
Теперь вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5(n^2 - n - 4)$.
Поскольку $n$ — целое число, то выражение в скобках $(n^2 - n - 4)$ также является целым числом. Обозначим его как $k$. Тогда исходное выражение равно $5k$. Любое число вида $5k$, где $k$ — целое, по определению делится на 5.
Следовательно, данное выражение делится на 5 при любом целом $n$.
Ответ: да, делится.

б) Упростим данное выражение.
Раскроем скобки:
$(7n + 8)(n - 1) + (3n - 2)(n + 2) = (7n \cdot n - 7n \cdot 1 + 8 \cdot n - 8 \cdot 1) + (3n \cdot n + 3n \cdot 2 - 2 \cdot n - 2 \cdot 2) = (7n^2 - 7n + 8n - 8) + (3n^2 + 6n - 2n - 4)$.
Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:
$(7n^2 + n - 8) + (3n^2 + 4n - 4)$.
Снова раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$7n^2 + n - 8 + 3n^2 + 4n - 4 = (7n^2 + 3n^2) + (n + 4n) + (-8 - 4) = 10n^2 + 5n - 12$.
Чтобы проверить делимость на 5, представим выражение в виде:
$10n^2 + 5n - 12 = 5(2n^2 + n) - 12$.
Первое слагаемое $5(2n^2 + n)$ делится на 5 при любом целом $n$, так как содержит множитель 5. Второе слагаемое, $-12$, не делится на 5. Сумма числа, делящегося на 5, и числа, не делящегося на 5, не делится на 5.
Для проверки можно подставить любое целое значение $n$. Например, при $n=1$:
$10(1)^2 + 5(1) - 12 = 10 + 5 - 12 = 3$.
Число 3 не делится на 5. Следовательно, выражение не делится на 5 при любом целом $n$.
Ответ: нет, не делится.

1018. Преобразуйте в произведение выражение:

а) $a^2 + b^2 - 2ab - 25$;

б) $36 - b^2 - c^2 + 2bc$;

в) $49 - 2ax - a^2 - x^2$;

г) $b^2 - a^2 - 12a - 36$;

д) $81a^2 + 6bc - 9b^2 - c^2$;

е) $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1.$

а) $a^2 + b^2 - 2ab - 25$
Сгруппируем первые три слагаемых выражения: $a^2 - 2ab + b^2$. Это формула квадрата разности $(a-b)^2$.
Исходное выражение можно переписать в виде: $(a-b)^2 - 25$.
Теперь мы имеем разность квадратов, так как $25 = 5^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a-b$ и $y = 5$.
Получаем: $(a-b)^2 - 5^2 = ((a-b) - 5)((a-b) + 5) = (a-b-5)(a-b+5)$.
Ответ: $(a-b-5)(a-b+5)$.

б) $36 - b^2 - c^2 + 2bc$
Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых: $36 - (b^2 - 2bc + c^2)$.
Выражение в скобках, $b^2 - 2bc + c^2$, является полным квадратом разности $(b-c)^2$.
Выражение принимает вид $36 - (b-c)^2$. Это разность квадратов, так как $36 = 6^2$.
Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=6$ и $y=b-c$.
Получаем: $6^2 - (b-c)^2 = (6 - (b-c))(6 + (b-c)) = (6-b+c)(6+b-c)$.
Ответ: $(6-b+c)(6+b-c)$.

в) $49 - 2ax - a^2 - x^2$
Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых: $49 - (a^2 + 2ax + x^2)$.
Выражение в скобках, $a^2 + 2ax + x^2$, является полным квадратом суммы $(a+x)^2$.
Выражение принимает вид $49 - (a+x)^2$. Это разность квадратов, так как $49=7^2$.
Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=7$ и $y=a+x$.
Получаем: $7^2 - (a+x)^2 = (7 - (a+x))(7 + (a+x)) = (7-a-x)(7+a+x)$.
Ответ: $(7-a-x)(7+a+x)$.

г) $b^2 - a^2 - 12a - 36$
Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых: $b^2 - (a^2 + 12a + 36)$.
Выражение в скобках, $a^2 + 12a + 36$, является полным квадратом суммы, так как $a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a+6)^2$.
Выражение принимает вид $b^2 - (a+6)^2$. Это разность квадратов.
Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=b$ и $y=a+6$.
Получаем: $(b - (a+6))(b + (a+6)) = (b-a-6)(b+a+6)$.
Ответ: $(b-a-6)(b+a+6)$.

д) $81a^2 + 6bc - 9b^2 - c^2$
Перегруппируем слагаемые и вынесем минус за скобки: $81a^2 - (9b^2 - 6bc + c^2)$.
Выражение в скобках, $9b^2 - 6bc + c^2$, является полным квадратом разности: $(3b)^2 - 2 \cdot (3b) \cdot c + c^2 = (3b-c)^2$.
Выражение принимает вид $81a^2 - (3b-c)^2$. Представим $81a^2$ как $(9a)^2$. Получаем $(9a)^2 - (3b-c)^2$.
Это разность квадратов. Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=9a$ и $y=3b-c$.
Получаем: $(9a - (3b-c))(9a + (3b-c)) = (9a-3b+c)(9a+3b-c)$.
Ответ: $(9a-3b+c)(9a+3b-c)$.

е) $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1$
Перегруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты. Для этого представим $-4bc$ как $-2bc - 2bc$:
$b^2c^2 - 2bc - b^2 - 2bc - c^2 + 1$.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(b^2c^2 - 2bc + 1) - (b^2 + 2bc + c^2)$.
Первая скобка $b^2c^2 - 2bc + 1$ является квадратом разности $(bc-1)^2$.
Вторая скобка $b^2 + 2bc + c^2$ является квадратом суммы $(b+c)^2$.
Выражение принимает вид $(bc-1)^2 - (b+c)^2$. Это разность квадратов.
Применяем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=bc-1$ и $y=b+c$.
Получаем: $((bc-1) - (b+c))((bc-1) + (b+c)) = (bc-b-c-1)(bc+b+c-1)$.
Ответ: $(bc-b-c-1)(bc+b+c-1)$.

1021. Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:

а) $x^2 - 2xy + y^2 + a^2$;

б) $4x^2 + a^2 - 4x + 1$;

в) $9b^2 - 6b + 4c^2 + 1$;

г) $a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1$;

д) $x^2 - 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1$;

е) $x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10$.

а) Чтобы доказать, что многочлен $x^2 - 2xy + y^2 + a^2$ принимает лишь неотрицательные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Первые три слагаемых $x^2 - 2xy + y^2$ представляют собой формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Таким образом, исходный многочлен можно записать в виде: $(x-y)^2 + a^2$. Выражение $(x-y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда больше либо равно нулю: $(x-y)^2 \ge 0$. Аналогично, $a^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых также всегда неотрицательна: $(x-y)^2 + a^2 \ge 0$. Следовательно, многочлен принимает лишь неотрицательные значения при любых действительных значениях переменных $x, y, a$.
Ответ: Доказано.

б) Рассмотрим многочлен $4x^2 + a^2 - 4x + 1$. Перегруппируем слагаемые для выделения полного квадрата: $(4x^2 - 4x + 1) + a^2$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = (2x-1)^2$. Следовательно, многочлен можно представить в виде: $(2x-1)^2 + a^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(2x-1)^2 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $(2x-1)^2 + a^2 \ge 0$. Таким образом, многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
Ответ: Доказано.

в) Рассмотрим многочлен $9b^2 - 6b + 4c^2 + 1$. Перегруппируем слагаемые: $(9b^2 - 6b + 1) + 4c^2$. Выражение в скобках $9b^2 - 6b + 1$ является полным квадратом разности: $(3b)^2 - 2 \cdot (3b) \cdot 1 + 1^2 = (3b-1)^2$. Второе слагаемое $4c^2$ также является квадратом: $(2c)^2$. Таким образом, многочлен можно представить как сумму квадратов: $(3b-1)^2 + (2c)^2$. Поскольку $(3b-1)^2 \ge 0$ и $(2c)^2 \ge 0$ для любых действительных $b$ и $c$, их сумма также неотрицательна. Следовательно, многочлен принимает лишь неотрицательные значения.
Ответ: Доказано.

г) Рассмотрим многочлен $a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1$. Чтобы выделить полные квадраты, представим $2b^2$ в виде $b^2 + b^2$ и перегруппируем слагаемые: $(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2b + 1)$. Первое выражение в скобках — это квадрат суммы: $(a+b)^2$. Второе выражение в скобках — это также квадрат суммы: $(b+1)^2$. Таким образом, исходный многочлен равен сумме двух квадратов: $(a+b)^2 + (b+1)^2$. Каждое слагаемое в этой сумме неотрицательно, так как является квадратом: $(a+b)^2 \ge 0$ и $(b+1)^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна.
Ответ: Доказано.

д) Рассмотрим многочлен $x^2 - 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1$. Для преобразования представим член $-4xy$ в виде суммы $-2xy - 2xy$ и перегруппируем слагаемые: $(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2y^2 - 2xy + 1)$. Первая группа слагаемых является квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Вторая группа слагаемых также является квадратом разности: $x^2y^2 - 2xy + 1 = (xy)^2 - 2(xy)(1) + 1^2 = (xy-1)^2$. Таким образом, многочлен можно представить в виде суммы двух квадратов: $(x-y)^2 + (xy-1)^2$. Так как оба слагаемых являются квадратами, они неотрицательны: $(x-y)^2 \ge 0$ и $(xy-1)^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна.
Ответ: Доказано.

е) Рассмотрим многочлен $x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$, и дополним их до полных квадратов. $(x^2 + 2x) + (y^2 + 6y) + 10$. Для получения полного квадрата из $x^2 + 2x$ нужно добавить 1: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Для получения полного квадрата из $y^2 + 6y$ нужно добавить 9: $y^2 + 6y + 9 = (y+3)^2$. Представим свободный член $10$ как $1+9$. Многочлен можно переписать в виде: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9)$. Это равносильно сумме двух квадратов: $(x+1)^2 + (y+3)^2$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ и $(y+3)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, их сумма всегда неотрицательна.
Ответ: Доказано.

1024. Докажите тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$. Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу $25^2$, $45^2$, $75^2$, $115^2$.

Докажите тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 10n$ и $b = 5$.

$(10n + 5)^2 = (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2 = 100n^2 + 100n + 25$.

Теперь вынесем общий множитель $100n$ за скобки из первых двух слагаемых:

$100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $(10n + 5)^2$ после раскрытия скобок по формуле квадрата суммы преобразуется к виду $100n^2 + 100n + 25$. Вынесение общего множителя $100n$ из первых двух слагаемых дает выражение $100n(n + 1) + 25$, что и требовалось доказать.

Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5.

Любое натуральное число, которое оканчивается на 5, можно представить в виде $10n + 5$, где $n$ — это целое неотрицательное число, образованное всеми цифрами исходного числа, кроме последней цифры 5.

Тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$ показывает, как вычислить квадрат такого числа. Выражение $100n(n + 1)$ означает, что мы умножаем число $n$ на следующее за ним число $(n+1)$ и результат умножаем на 100 (то есть приписываем два нуля в конце). Прибавление 25 к этому результату означает, что вместо двух нулей в конце будут стоять цифры 2 и 5.

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся на 5, нужно число, образованное его цифрами до пятерки, умножить на следующее по порядку натуральное число, а затем к полученному результату приписать справа число 25.

Ответ: Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся на 5, нужно число, состоящее из всех его цифр, кроме последней, умножить на это же число, увеличенное на единицу, и к полученному произведению приписать справа 25.

Найдите по этому правилу $25^2$, $45^2$, $75^2$, $115^2$.

Применим сформулированное правило для каждого из чисел:

Для $25^2$: число без последней пятерки — это $n=2$. Умножаем 2 на следующее число (3): $2 \cdot (2+1) = 2 \cdot 3 = 6$. Приписываем 25. Получаем 625.

Для $45^2$: число без последней пятерки — это $n=4$. Умножаем 4 на следующее число (5): $4 \cdot (4+1) = 4 \cdot 5 = 20$. Приписываем 25. Получаем 2025.

Для $75^2$: число без последней пятерки — это $n=7$. Умножаем 7 на следующее число (8): $7 \cdot (7+1) = 7 \cdot 8 = 56$. Приписываем 25. Получаем 5625.

Для $115^2$: число без последней пятерки — это $n=11$. Умножаем 11 на следующее число (12): $11 \cdot (11+1) = 11 \cdot 12 = 132$. Приписываем 25. Получаем 13225.

Ответ: $25^2 = 625$; $45^2 = 2025$; $75^2 = 5625$; $115^2 = 13225$.