Страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

959. Напишите формулу:

а) седьмой степени двучлена;
$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

б) восьмой степени двучлена.
$(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8$

а) седьмой степени двучлена;

Для того чтобы написать формулу седьмой степени двучлена, мы используем формулу бинома Ньютона. Общая формула для возведения двучлена $(a+b)$ в натуральную степень $n$ выглядит следующим образом:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$

В этой формуле $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, которые вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=7$. Нам нужно вычислить биномиальные коэффициенты от $C_7^0$ до $C_7^7$:

$C_7^0 = \frac{7!}{0!(7-0)!} = 1$

$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{6!} = 7$

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Благодаря свойству симметрии биномиальных коэффициентов ($C_n^k = C_n^{n-k}$), мы можем найти оставшиеся коэффициенты:

$C_7^4 = C_7^3 = 35$

$C_7^5 = C_7^2 = 21$

$C_7^6 = C_7^1 = 7$

$C_7^7 = C_7^0 = 1$

Теперь, подставив найденные коэффициенты в формулу бинома Ньютона, получим разложение для седьмой степени:

$(a+b)^7 = 1 \cdot a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + 1 \cdot b^7$

Ответ: $(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

б) восьмой степени двучлена.

Действуем аналогично, используя формулу бинома Ньютона для $n=8$.

Вычислим биномиальные коэффициенты от $C_8^0$ до $C_8^8$:

$C_8^0 = 1$

$C_8^1 = \frac{8!}{1!7!} = 8$

$C_8^2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$

$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

$C_8^4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Используя свойство симметрии, находим остальные коэффициенты:

$C_8^5 = C_8^3 = 56$

$C_8^6 = C_8^2 = 28$

$C_8^7 = C_8^1 = 8$

$C_8^8 = C_8^0 = 1$

Подставляем коэффициенты в формулу разложения для восьмой степени:

$(a+b)^8 = 1 \cdot a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + 1 \cdot b^8$

Ответ: $(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8$

957. Напишите строки треугольника Паскаля для $n = 6$; $n = 7.$

Треугольник Паскаля — это треугольная таблица биномиальных коэффициентов. Каждая строка начинается и заканчивается единицей. Любой другой элемент строки равен сумме двух элементов предыдущей строки, расположенных непосредственно над ним. Строки нумеруются начиная с $n=0$.

n = 6

Чтобы найти строку для $n=6$, нам необходимо знать предыдущую строку, $n=5$. Давайте построим треугольник Паскаля до 5-й строки включительно:

n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1

Теперь, используя строку для $n=5$ (1, 5, 10, 10, 5, 1), мы вычисляем строку для $n=6$. Каждый элемент (кроме крайних единиц) равен сумме двух чисел над ним из предыдущей строки:

• $1$ (первый элемент всегда 1)
• $1 + 5 = 6$
• $5 + 10 = 15$
• $10 + 10 = 20$
• $10 + 5 = 15$
• $5 + 1 = 6$
• $1$ (последний элемент всегда 1)

Таким образом, строка для $n=6$ выглядит следующим образом.

Ответ: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

n = 7

Для нахождения строки для $n=7$, мы используем только что полученную строку для $n=6$ (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1).

• $1$
• $1 + 6 = 7$
• $6 + 15 = 21$
• $15 + 20 = 35$
• $20 + 15 = 35$
• $15 + 6 = 21$
• $6 + 1 = 7$
• $1$

Таким образом, строка для $n=7$ выглядит следующим образом.

Ответ: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

960. Используя формулу четвёртой степени двучлена, преобразуйте выражение:

а) $(a^2 + 2b)^4$;

б) $(a^3 - b)^4$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу бинома Ньютона для четвёртой степени. Коэффициенты для четвёртой степени можно найти из треугольника Паскаля, они равны 1, 4, 6, 4, 1.

Формула для суммы двух чисел в четвёртой степени:

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

Формула для разности двух чисел в четвёртой степени (знаки чередуются):

$(x - y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$

а) Преобразуем выражение $(a^2 + 2b)^4$.

В этом выражении $x = a^2$ и $y = 2b$. Применим формулу для суммы в четвёртой степени:

$(a^2 + 2b)^4 = (a^2)^4 + 4(a^2)^3(2b) + 6(a^2)^2(2b)^2 + 4(a^2)(2b)^3 + (2b)^4$

Теперь вычислим и упростим каждый член многочлена:

• Первый член: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$
• Второй член: $4(a^2)^3(2b) = 4(a^6)(2b) = 8a^6b$
• Третий член: $6(a^2)^2(2b)^2 = 6(a^4)(4b^2) = 24a^4b^2$
• Четвёртый член: $4(a^2)(2b)^3 = 4(a^2)(8b^3) = 32a^2b^3$
• Пятый член: $(2b)^4 = 16b^4$

Складывая все полученные члены, получаем итоговое выражение:

$(a^2 + 2b)^4 = a^8 + 8a^6b + 24a^4b^2 + 32a^2b^3 + 16b^4$

Ответ: $a^8 + 8a^6b + 24a^4b^2 + 32a^2b^3 + 16b^4$.

б) Преобразуем выражение $(a^3 - b)^4$.

В этом выражении $x = a^3$ и $y = b$. Применим формулу для разности в четвёртой степени:

$(a^3 - b)^4 = (a^3)^4 - 4(a^3)^3(b) + 6(a^3)^2(b)^2 - 4(a^3)(b)^3 + (b)^4$

Теперь вычислим и упростим каждый член многочлена:

• Первый член: $(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$
• Второй член: $-4(a^3)^3(b) = -4(a^9)(b) = -4a^9b$
• Третий член: $6(a^3)^2(b)^2 = 6(a^6)(b^2) = 6a^6b^2$
• Четвёртый член: $-4(a^3)(b)^3 = -4a^3b^3$
• Пятый член: $b^4$

Объединяя все полученные члены, получаем итоговое выражение:

$(a^3 - b)^4 = a^{12} - 4a^9b + 6a^6b^2 - 4a^3b^3 + b^4$

Ответ: $a^{12} - 4a^9b + 6a^6b^2 - 4a^3b^3 + b^4$.

958. Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена $a + b$. Проверьте результат, умножив на $a + b$ многочлен, равный $(a + b)^5$.

Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена a + b.

Для нахождения коэффициентов в разложении двучлена $(a+b)^n$ в степень $n$ используется треугольник Паскаля. Каждая строка треугольника, начиная с нулевой, содержит коэффициенты для соответствующей степени. Для нахождения формулы $(a+b)^6$ нам нужна строка с номером $n=6$.

Построим треугольник Паскаля до строки $n=6$:

$n=0$: 1

$n=1$: 1, 1

$n=2$: 1, 2, 1

$n=3$: 1, 3, 3, 1

$n=4$: 1, 4, 6, 4, 1

$n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1

$n=6$: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

Числа в строке для $n=6$ (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) являются биномиальными коэффициентами для разложения $(a+b)^6$. В разложении степени переменной $a$ убывают от 6 до 0, а степени переменной $b$ возрастают от 0 до 6.

Подставляя коэффициенты, получаем:

$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6b^0 + 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 + 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 + 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot a^0b^6$

Упрощая выражение, получаем искомую формулу.

Ответ: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

Проверьте результат, умножив на a + b многочлен, равный (a + b)⁵.

Для проверки необходимо выполнить умножение $(a+b) \cdot (a+b)^5$. Сначала, используя строку $n=5$ треугольника Паскаля (1, 5, 10, 10, 5, 1), запишем разложение для $(a+b)^5$:

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

Теперь умножим этот многочлен на $(a+b)$:

$(a+b)(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)$

Применим распределительный закон умножения:

$a(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5) + b(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $a$ и на $b$:

$(a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5) + (a^5b + 5a^4b^2 + 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6)$

Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$a^6 + (5a^5b + a^5b) + (10a^4b^2 + 5a^4b^2) + (10a^3b^3 + 10a^3b^3) + (5a^2b^4 + 10a^2b^4) + (ab^5 + 5ab^5) + b^6$

Выполнив сложение коэффициентов, получаем итоговый многочлен:

$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

Этот результат в точности совпадает с формулой для $(a+b)^6$, полученной с помощью треугольника Паскаля.

Ответ: Проверка подтвердила правильность формулы. Результат умножения $(a+b)(a+b)^5$ равен $a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$.