Страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

935. Представьте в виде произведения:

а) $y^3 - y^5$;

б) $2x - 2x^3$;

в) $81x^2 - x^4$;

г) $4y^3 - 100y^5$.

а) В выражении $y^3 - y^5$ необходимо представить его в виде произведения. Для этого сначала вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для обоих членов является $y$ в наименьшей степени, то есть $y^3$.

$y^3 - y^5 = y^3(1) - y^3(y^2) = y^3(1 - y^2)$

Теперь выражение в скобках, $1 - y^2$, представляет собой разность квадратов, так как $1$ можно представить как $1^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a=1$, а $b=y$.

$1 - y^2 = (1 - y)(1 + y)$

Подставив это разложение в исходное выражение, получим окончательный вид произведения:

$y^3(1 - y)(1 + y)$

Ответ: $y^3(1 - y)(1 + y)$.

б) В выражении $2x - 2x^3$ найдем общий множитель. Для коэффициентов 2 и -2 общим множителем является 2. Для переменных $x$ и $x^3$ общим множителем является $x$. Таким образом, выносим за скобки $2x$.

$2x - 2x^3 = 2x(1 - x^2)$

Выражение в скобках $1 - x^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a=1$ и $b=x$.

$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$

В результате получаем произведение:

$2x(1 - x)(1 + x)$

Ответ: $2x(1 - x)(1 + x)$.

в) В выражении $81x^2 - x^4$ вынесем за скобки общий множитель $x^2$.

$81x^2 - x^4 = x^2(81 - x^2)$

Выражение в скобках $81 - x^2$ является разностью квадратов, так как $81 = 9^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a=9$ и $b=x$.

$81 - x^2 = (9 - x)(9 + x)$

Итоговое произведение:

$x^2(9 - x)(9 + x)$

Ответ: $x^2(9 - x)(9 + x)$.

г) В выражении $4y^3 - 100y^5$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для 4 и 100 равен 4. Общий множитель для $y^3$ и $y^5$ равен $y^3$. Таким образом, выносим за скобки $4y^3$.

$4y^3 - 100y^5 = 4y^3(1 - 25y^2)$

Выражение в скобках $1 - 25y^2$ является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$ и $25y^2 = (5y)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a=1$ и $b=5y$.

$1 - 25y^2 = (1 - 5y)(1 + 5y)$

Окончательный результат в виде произведения:

$4y^3(1 - 5y)(1 + 5y)$

Ответ: $4y^3(1 - 5y)(1 + 5y)$.

938. Разложите на множители:

а) $p^4 - 16$;

б) $x^4 - 81$;

в) $y^8 - 1$;

г) $a^4 - b^8$.

а) Для разложения выражения $p^4 - 16$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Сначала представим $p^4$ как $(p^2)^2$ и $16$ как $4^2$.
$p^4 - 16 = (p^2)^2 - 4^2 = (p^2 - 4)(p^2 + 4)$.
Теперь заметим, что множитель $(p^2 - 4)$ также является разностью квадратов, так как $p^2 = (p)^2$ и $4 = 2^2$.
$p^2 - 4 = (p - 2)(p + 2)$.
Подставим это разложение в наше выражение:
$(p^2 - 4)(p^2 + 4) = (p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)$.
Множитель $(p^2 + 4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $(p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)$

б) Для разложения выражения $x^4 - 81$ на множители применим тот же подход.
Представим $x^4$ как $(x^2)^2$ и $81$ как $9^2$.
$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$.
Множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $9 = 3^2$.
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Подставим обратно:
$(x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$

в) Разложим на множители выражение $y^8 - 1$.
Представим $y^8$ как $(y^4)^2$ и $1$ как $1^2$.
$y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)$.
Теперь разложим множитель $(y^4 - 1)$, который также является разностью квадратов: $y^4 = (y^2)^2$.
$y^4 - 1 = (y^2)^2 - 1^2 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$.
И снова, множитель $(y^2 - 1)$ — это разность квадратов.
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.
Собираем все вместе:
$y^8 - 1 = (y^4 - 1)(y^4 + 1) = (y^2 - 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1) = (y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$

г) Разложим на множители выражение $a^4 - b^8$.
Представим выражение как разность квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$.
$a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 = (a^2 - b^4)(a^2 + b^4)$.
Множитель $(a^2 - b^4)$ является разностью квадратов, так как $b^4 = (b^2)^2$.
$a^2 - b^4 = a^2 - (b^2)^2 = (a - b^2)(a + b^2)$.
Подставляем в наше выражение:
$(a^2 - b^4)(a^2 + b^4) = (a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.
Ответ: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$

941. Выполните разложение на множители:

а) $2m^2 - 4m + 2$;

б) $36 + 24x + 4x^2$;

в) $8a^3 - 8b^3$;

г) $9ax^3 + 9ay^3$.

а) В выражении $2m^2 - 4m + 2$ вынесем за скобки общий множитель 2:
$2(m^2 - 2m + 1)$
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = m$ и $b = 1$.
$m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$
Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:
$2(m-1)^2$
Ответ: $2(m-1)^2$.

б) В выражении $36 + 24x + 4x^2$ вынесем за скобки общий множитель 4:
$4(9 + 6x + x^2)$
Запишем выражение в скобках в стандартном порядке: $4(x^2 + 6x + 9)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$ и $b=3$.
$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$
Следовательно, итоговое разложение:
$4(x+3)^2$
Ответ: $4(x+3)^2$.

в) В выражении $8a^3 - 8b^3$ вынесем за скобки общий множитель 8:
$8(a^3 - b^3)$
Выражение в скобках является разностью кубов. Применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
Подставив это в наше выражение, получаем:
$8(a-b)(a^2 + ab + b^2)$
Ответ: $8(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

г) В выражении $9ax^3 + 9ay^3$ вынесем за скобки общий множитель $9a$:
$9a(x^3 + y^3)$
Выражение в скобках является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Подставив это в наше выражение, получаем:
$9a(x+y)(x^2 - xy + y^2)$
Ответ: $9a(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

944. Выполните разложение на множители:

а) $x^2 - 2xc + c^2 - d^2;$

б) $c^2 + 2c + 1 - a^2;$

в) $p^2 - x^2 + 6x - 9;$

г) $x^2 - a^2 - 10a - 25.$

Для разложения данных многочленов на множители будем использовать метод группировки и формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

а) $x^2 - 2xc + c^2 - d^2$

Сгруппируем первые три слагаемых: $(x^2 - 2xc + c^2)$. Это выражение представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=c$.

$(x^2 - 2xc + c^2) - d^2 = (x-c)^2 - d^2$

Теперь мы имеем разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (x-c)$ и $b = d$.

$(x-c)^2 - d^2 = ((x-c) - d)((x-c) + d) = (x-c-d)(x-c+d)$

Ответ: $(x-c-d)(x-c+d)$

б) $c^2 + 2c + 1 - a^2$

Сгруппируем первые три слагаемых: $(c^2 + 2c + 1)$. Это выражение является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=c$ и $b=1$.

$(c^2 + 2c + 1) - a^2 = (c+1)^2 - a^2$

Получили разность квадратов. Раскладываем по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = (c+1)$ и $y = a$.

$(c+1)^2 - a^2 = ((c+1) - a)((c+1) + a) = (c-a+1)(c+a+1)$

Ответ: $(c-a+1)(c+a+1)$

в) $p^2 - x^2 + 6x - 9$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки:

$p^2 - (x^2 - 6x + 9)$

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$.

$p^2 - (x-3)^2$

Теперь перед нами разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = p$ и $b = (x-3)$.

$(p - (x-3))(p + (x-3)) = (p-x+3)(p+x-3)$

Ответ: $(p-x+3)(p+x-3)$

г) $x^2 - a^2 - 10a - 25$

Сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки знак минус:

$x^2 - (a^2 + 10a + 25)$

Выражение в скобках $a^2 + 10a + 25$ является полным квадратом суммы $(a+5)^2$.

$x^2 - (a+5)^2$

Получили разность квадратов. Используем формулу $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$, где $b = x$ и $c = (a+5)$.

$(x - (a+5))(x + (a+5)) = (x-a-5)(x+a+5)$

Ответ: $(x-a-5)(x+a+5)$

947. Представьте в виде произведения:

а) $a - b + a^2 - b^2;$

б) $c^2 + d - d^2 + c.$

а) Чтобы представить выражение $a - b + a^2 - b^2$ в виде произведения, сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a - b) + (a^2 - b^2)$.
Выражение $a^2 - b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Применив эту формулу, получим: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Теперь подставим это разложение обратно в сгруппированное выражение: $(a - b) + (a - b)(a + b)$.
Мы видим, что у нас есть общий множитель $(a - b)$, который можно вынести за скобки: $(a - b)(1 + (a + b))$.
Раскрыв скобки во втором множителе, получим окончательный вид произведения: $(a - b)(1 + a + b)$.
Ответ: $(a - b)(1 + a + b)$

б) Чтобы представить выражение $c^2 + d - d^2 + c$ в виде произведения, сначала перегруппируем слагаемые для удобства: $(c^2 - d^2) + (c + d)$.
Первая группа $(c^2 - d^2)$ представляет собой разность квадратов, которую мы раскладываем на множители: $(c - d)(c + d)$.
Подставим полученное разложение в наше выражение: $(c - d)(c + d) + (c + d)$.
Теперь мы можем вынести общий множитель $(c + d)$ за скобки: $(c + d)((c - d) + 1)$.
Упростив выражение во второй скобке, получим итоговый результат: $(c + d)(c - d + 1)$.
Ответ: $(c + d)(c - d + 1)$

936. Выполните разложение на множители:

a) $mx^2 - 49m$;

б) $ab^2 - 4ac^2$;

в) $4b^3 - b$;

г) $a^3 - ac^2$.

а) Для разложения на множители выражения $mx^2 - 49m$ первым шагом вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$mx^2 - 49m = m(x^2 - 49)$

Выражение в скобках, $x^2 - 49$, представляет собой разность квадратов, так как $x^2$ является квадратом $x$, а $49$ является квадратом $7$ ($49 = 7^2$).

Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = x$ и $b = 7$, следовательно:

$x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$

Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$m(x^2 - 49) = m(x - 7)(x + 7)$

Ответ: $m(x - 7)(x + 7)$

б) В выражении $ab^2 - 4ac^2$ найдём и вынесем за скобки общий множитель $a$:

$ab^2 - 4ac^2 = a(b^2 - 4c^2)$

Выражение в скобках, $b^2 - 4c^2$, также является разностью квадратов. Первое слагаемое $b^2$ — это квадрат $b$, а второе, $4c^2$, — это квадрат $2c$ ($4c^2 = (2c)^2$).

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = b$ и $y = 2c$:

$b^2 - (2c)^2 = (b - 2c)(b + 2c)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$a(b^2 - 4c^2) = a(b - 2c)(b + 2c)$

Ответ: $a(b - 2c)(b + 2c)$

в) Для выражения $4b^3 - b$ вынесем за скобки общий множитель $b$:

$4b^3 - b = b(4b^2 - 1)$

Выражение в скобках, $4b^2 - 1$, является разностью квадратов, поскольку $4b^2$ можно представить как $(2b)^2$, а $1$ как $1^2$.

Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ с $a = 2b$ и $b = 1$, получаем:

$(2b)^2 - 1^2 = (2b - 1)(2b + 1)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$b(4b^2 - 1) = b(2b - 1)(2b + 1)$

Ответ: $b(2b - 1)(2b + 1)$

г) В выражении $a^3 - ac^2$ вынесем за скобки общий множитель $a$:

$a^3 - ac^2 = a(a^2 - c^2)$

Выражение в скобках, $a^2 - c^2$, является классической разностью квадратов.

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a$ и $y = c$:

$a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$

Следовательно, полное разложение на множители имеет вид:

$a(a^2 - c^2) = a(a - c)(a + c)$

Ответ: $a(a - c)(a + c)$

939. Разложите на множители:

а) $3x^2 + 6xy + 3y^2$;

б) $-m^2 + 2m - 1$;

в) $-4x - 4 - x^2$;

г) $6p^2 + 24q^2 + 24pq$;

д) $45x + 30ax + 5a^2x$;

е) $18cx^2 - 24cx + 8c$.

а) $3x^2 + 6xy + 3y^2$

Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель. Все коэффициенты (3, 6, 3) делятся на 3. Получаем:

$3(x^2 + 2xy + y^2)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2xy + y^2$, представляет собой формулу сокращенного умножения, известную как "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=y$.

Следовательно, мы можем свернуть выражение в скобках:

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$

Подставляя это обратно, получаем итоговое разложение на множители.

Ответ: $3(x+y)^2$

б) $-m^2 + 2m - 1$

Для удобства вынесем за скобки общий множитель -1. Это изменит знаки всех слагаемых внутри скобок:

$-1(m^2 - 2m + 1) = -(m^2 - 2m + 1)$

Теперь выражение в скобках, $m^2 - 2m + 1$, является "квадратом разности" по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=m$ и $b=1$.

Сворачиваем выражение в скобках:

$m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$

Не забываем про знак минуса, который мы вынесли вначале.

Ответ: $-(m-1)^2$

в) $-4x - 4 - x^2$

Сначала переставим слагаемые в стандартном порядке по убыванию степеней переменной $x$:

$-x^2 - 4x - 4$

Вынесем за скобки общий множитель -1:

$-(x^2 + 4x + 4)$

Выражение в скобках, $x^2 + 4x + 4$, является "квадратом суммы" по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В этом случае $a=x$ и $b=2$. Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.

Сворачиваем выражение в скобках:

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

Таким образом, окончательный результат:

Ответ: $-(x+2)^2$

г) $6p^2 + 24q^2 + 24pq$

Для наглядности переставим слагаемые, чтобы получить стандартный вид трехчлена:

$6p^2 + 24pq + 24q^2$

Вынесем за скобки общий числовой множитель. Наибольший общий делитель для 6, 24 и 24 равен 6.

$6(p^2 + 4pq + 4q^2)$

Выражение в скобках, $p^2 + 4pq + 4q^2$, является "квадратом суммы" $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=p$ и $b=2q$. Проверим: $a^2=p^2$, $b^2=(2q)^2=4q^2$ и $2ab=2 \cdot p \cdot (2q) = 4pq$. Все сходится.

Сворачиваем выражение:

$p^2 + 4pq + 4q^2 = (p+2q)^2$

Ответ: $6(p+2q)^2$

д) $45x + 30ax + 5a^2x$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов 45, 30, 5 общим делителем является 5. Переменная $x$ также является общей для всех слагаемых. Таким образом, общий множитель - это $5x$.

$5x(9 + 6a + a^2)$

Переставим слагаемые в скобках в стандартном порядке:

$5x(a^2 + 6a + 9)$

Выражение в скобках, $a^2 + 6a + 9$, является "квадратом суммы" $(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$. Здесь $c=a$ и $d=3$. Проверим: $2cd = 2 \cdot a \cdot 3 = 6a$.

Сворачиваем выражение:

$a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$

Ответ: $5x(a+3)^2$

е) $18cx^2 - 24cx + 8c$

Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов 18, 24, 8 общим делителем является 2. Переменная $c$ также является общей. Значит, общий множитель - это $2c$.

$2c(9x^2 - 12x + 4)$

Выражение в скобках, $9x^2 - 12x + 4$, является "квадратом разности" $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3x$ и $b=2$. Проверим: $a^2=(3x)^2=9x^2$, $b^2=2^2=4$ и $2ab=2 \cdot (3x) \cdot 2 = 12x$.

Сворачиваем выражение:

$9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$

Ответ: $2c(3x-2)^2$

942. Разложите на множители:

а) $4xy + 12y - 4x - 12$;

б) $60 + 6ab - 30b - 12a$;

в) $-abc - 5ac - 4ab - 20a$;

г) $a^3 + a^2b + a^2 + ab$.

а) Для разложения на множители выражения $4xy + 12y - 4x - 12$ применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$(4xy + 12y) + (-4x - 12)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $4y$, а во второй группе вынесем за скобки $-4$.

$4y(x + 3) - 4(x + 3)$

Теперь мы видим, что у обеих групп появился общий множитель в виде скобки $(x + 3)$. Вынесем его за скобки.

$(x + 3)(4y - 4)$

В выражении во второй скобке $(4y - 4)$ можно вынести за скобку общий множитель 4.

$(x + 3) \cdot 4(y - 1)$

Запишем множители в стандартном порядке.

$4(x + 3)(y - 1)$

Ответ: $4(x + 3)(y - 1)$

б) Для разложения на множители выражения $60 + 6ab - 30b - 12a$ переставим слагаемые для удобства группировки.

$6ab - 30b - 12a + 60$

Сгруппируем слагаемые попарно: первое со вторым и третье с четвертым.

$(6ab - 30b) + (-12a + 60)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $6b$, во второй — $-12$.

$6b(a - 5) - 12(a - 5)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - 5)$.

$(a - 5)(6b - 12)$

Во второй скобке $(6b - 12)$ вынесем за скобку общий множитель 6.

$(a - 5) \cdot 6(b - 2)$

Запишем множители в стандартном порядке.

$6(a - 5)(b - 2)$

Ответ: $6(a - 5)(b - 2)$

в) Рассмотрим выражение $-abc - 5ac - 4ab - 20a$.

Заметим, что все слагаемые содержат общий множитель $-a$. Вынесем его за скобки.

$-a(bc + 5c + 4b + 20)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках $bc + 5c + 4b + 20$ методом группировки.

$(bc + 5c) + (4b + 20)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $c$ из первой и $4$ из второй.

$c(b + 5) + 4(b + 5)$

Вынесем общий множитель $(b + 5)$ за скобки.

$(b + 5)(c + 4)$

Вернемся к исходному выражению, подставив полученное разложение.

$-a(b + 5)(c + 4)$

Ответ: $-a(b + 5)(c + 4)$

г) Рассмотрим выражение $a^3 + a^2b + a^2 + ab$.

Во всех слагаемых есть общий множитель $a$. Вынесем его за скобки.

$a(a^2 + ab + a + b)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках $a^2 + ab + a + b$ методом группировки.

$(a^2 + ab) + (a + b)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $a$ из первой и $1$ из второй.

$a(a + b) + 1(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки.

$(a + b)(a + 1)$

Подставим полученное разложение в исходное выражение и запишем множители в удобном порядке.

$a(a + 1)(a + b)$

Ответ: $a(a + 1)(a + b)$

945. Разложите на множители:

a) $x^2 + 2xy + y^2 - m^2$;

б) $p^2 - a^2 - 2ab - b^2$;

в) $b^2 - c^2 - 8b + 16$;

г) $9 - c^2 + a^2 - 6a$.

а) $x^2 + 2xy + y^2 - m^2$
Сгруппируем первые три слагаемых. Выражение $x^2 + 2xy + y^2$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Таким образом, $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Подставив это в исходное выражение, получим:
$(x+y)^2 - m^2$
Теперь мы имеем разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. В нашем случае $A = x+y$ и $B = m$.
$(x+y)^2 - m^2 = ((x+y) - m)((x+y) + m) = (x+y-m)(x+y+m)$.
Ответ: $(x+y-m)(x+y+m)$

б) $p^2 - a^2 - 2ab - b^2$
Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки:
$p^2 - (a^2 + 2ab + b^2)$
Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2$.
$p^2 - (a+b)^2$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = p$ и $B = a+b$.
$(p - (a+b))(p + (a+b)) = (p-a-b)(p+a+b)$.
Ответ: $(p-a-b)(p+a+b)$

в) $b^2 - c^2 - 8b + 16$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:
$(b^2 - 8b + 16) - c^2$
Выражение в скобках $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=b$ и $b=4$.
$b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = (b-4)^2$
Теперь выражение выглядит как разность квадратов:
$(b-4)^2 - c^2$
Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = b-4$ и $B = c$.
$((b-4) - c)((b-4) + c) = (b-4-c)(b-4+c)$.
Ответ: $(b-c-4)(b+c-4)$

г) $9 - c^2 + a^2 - 6a$
Перегруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:
$(a^2 - 6a + 9) - c^2$
Выражение в скобках $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=3$.
$a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a-3)^2$
Получаем разность квадратов:
$(a-3)^2 - c^2$
Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a-3$ и $B = c$.
$((a-3) - c)((a-3) + c) = (a-3-c)(a-3+c)$.
Ответ: $(a-c-3)(a+c-3)$

934. Разложите на множители многочлен:

а) $5x^2 - 5y^2;$

б) $am^2 - an^2;$

в) $2ax^2 - 2ay^2;$

г) $9p^2 - 9;$

д) $16x^2 - 4;$

е) $75 - 27c^2.$

а) Для того чтобы разложить на множители многочлен $5x^2 - 5y^2$, сначала вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2)$
Теперь выражение в скобках $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$5(x^2 - y^2) = 5(x-y)(x+y)$
Ответ: $5(x-y)(x+y)$.

б) В многочлене $am^2 - an^2$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$am^2 - an^2 = a(m^2 - n^2)$
Выражение в скобках $m^2 - n^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$a(m^2 - n^2) = a(m-n)(m+n)$
Ответ: $a(m-n)(m+n)$.

в) В многочлене $2ax^2 - 2ay^2$ общим множителем является $2a$. Вынесем его за скобки:
$2ax^2 - 2ay^2 = 2a(x^2 - y^2)$
Далее, применяем формулу разности квадратов для выражения $x^2 - y^2$:
$2a(x^2 - y^2) = 2a(x-y)(x+y)$
Ответ: $2a(x-y)(x+y)$.

г) В выражении $9p^2 - 9$ вынесем общий множитель 9 за скобки:
$9p^2 - 9 = 9(p^2 - 1)$
Выражение $p^2 - 1$ можно представить как $p^2 - 1^2$ и разложить по формуле разности квадратов:
$9(p^2 - 1) = 9(p-1)(p+1)$
Ответ: $9(p-1)(p+1)$.

д) Для многочлена $16x^2 - 4$ найдем общий множитель. Коэффициенты 16 и 4 делятся на 4. Вынесем 4 за скобки:
$16x^2 - 4 = 4(4x^2 - 1)$
Выражение в скобках $4x^2 - 1$ является разностью квадратов, так как $4x^2 = (2x)^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=2x$ и $b=1$:
$4(4x^2 - 1) = 4((2x)^2 - 1^2) = 4(2x-1)(2x+1)$
Ответ: $4(2x-1)(2x+1)$.

е) В выражении $75 - 27c^2$ найдем наибольший общий делитель коэффициентов 75 и 27. Это число 3. Вынесем 3 за скобки:
$75 - 27c^2 = 3(25 - 9c^2)$
Выражение в скобках $25 - 9c^2$ является разностью квадратов, так как $25 = 5^2$ и $9c^2 = (3c)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=5$ и $b=3c$:
$3(25 - 9c^2) = 3(5^2 - (3c)^2) = 3(5-3c)(5+3c)$
Ответ: $3(5-3c)(5+3c)$.

937. Докажите тождество $a^8 - b^8 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, чтобы она стала равна левой. Мы будем последовательно перемножать скобки, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Правая часть тождества: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.

Шаг 1: Перемножим первые две скобки.

Используем формулу разности квадратов для $(a - b)(a + b)$:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

После этого всё выражение примет вид:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$

Шаг 2: Теперь перемножим первые две скобки получившегося выражения.

Снова применяем формулу разности квадратов, на этот раз для $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$

Выражение упрощается до:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$

Шаг 3: Перемножим оставшиеся две скобки.

В третий раз применяем ту же формулу для $(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$

В результате преобразований мы получили, что правая часть тождества равна $a^8 - b^8$, что в точности совпадает с левой частью.

Таким образом, тождество $a^8 - b^8 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$ доказано.

Ответ: Для доказательства тождества была преобразована его правая часть. Путем последовательного применения формулы разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ правая часть $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$ была приведена к виду $a^8 - b^8$, что равно левой части. Следовательно, тождество верно.

940. Разложите на множители выражение $x^6 - y^6$, представив его в виде:

а) разности квадратов;

б) разности кубов.

а) Представим выражение $x^6 - y^6$ в виде разности квадратов. Для этого воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$.

$x^6 = (x^3)^2$

$y^6 = (y^3)^2$

Таким образом, исходное выражение можно записать как:

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$ и $b = y^3$:

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

Полученные множители являются разностью кубов и суммой кубов. Разложим их на множители, используя соответствующие формулы:

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Подставим эти разложения в наше выражение:

$x^6 - y^6 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)(x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Сгруппировав множители, получим окончательный вид:

$x^6 - y^6 = (x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$.

б) Представим выражение $x^6 - y^6$ в виде разности кубов. Снова воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$.

$x^6 = (x^2)^3$

$y^6 = (y^2)^3$

Таким образом, исходное выражение можно записать как:

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x^2$ и $b = y^2$:

$(x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Теперь разложим на множители каждый из полученных сомножителей.

Первый множитель $(x^2 - y^2)$ раскладывается по формуле разности квадратов:

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

Второй множитель $(x^4 + x^2y^2 + y^4)$ разложим на множители методом выделения полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем $x^2y^2$:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy)$

Соберем все полученные множители вместе:

$x^6 - y^6 = (x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$.

943. Представьте в виде произведения:

а) $45b + 6a - 3ab - 90;$

б) $-5xy - 40y - 15x - 120;$

в) $ac^4 - c^4 + ac^3 - c^3;$

г) $x^3 - x^2y + x^2 - xy.$

а) Для того чтобы представить выражение $45b + 6a - 3ab - 90$ в виде произведения, воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(6a - 3ab) + (45b - 90)$. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3a$, а во второй — $45$: $3a(2 - b) + 45(b - 2)$. Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком, то есть $2 - b = -(b - 2)$. Перепишем выражение: $-3a(b - 2) + 45(b - 2)$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(b - 2)$: $(45 - 3a)(b - 2)$. В первом множителе также есть общий делитель $3$, который можно вынести: $3(15 - a)(b - 2)$.
Ответ: $3(15 - a)(b - 2)$.

б) В выражении $-5xy - 40y - 15x - 120$ также применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(-5xy - 40y) + (-15x - 120)$. Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $-5y$, а из второй — $-15$: $-5y(x + 8) - 15(x + 8)$. Теперь общим множителем является выражение $(x + 8)$, вынесем его за скобки: $(x + 8)(-5y - 15)$. Во втором множителе вынесем за скобки $-5$: $(x + 8)(-5)(y + 3)$. Запишем в более удобном виде: $-5(x + 8)(y + 3)$.
Ответ: $-5(x + 8)(y + 3)$.

в) Рассмотрим выражение $ac^4 - c^4 + ac^3 - c^3$. Сгруппируем слагаемые: $(ac^4 - c^4) + (ac^3 - c^3)$. Из первой группы вынесем за скобки $c^4$, из второй — $c^3$: $c^4(a - 1) + c^3(a - 1)$. Общий множитель $(a - 1)$ выносим за скобки: $(a - 1)(c^4 + c^3)$. Во втором множителе $(c^4 + c^3)$ можно вынести за скобки $c^3$: $(a - 1)c^3(c + 1)$. Переставим множители для удобства: $c^3(a - 1)(c + 1)$.
Ответ: $c^3(a - 1)(c + 1)$.

г) В выражении $x^3 - x^2y + x^2 - xy$ применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: $(x^3 - x^2y) + (x^2 - xy)$. В первой группе вынесем за скобки $x^2$, а во второй — $x$: $x^2(x - y) + x(x - y)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - y)$: $(x - y)(x^2 + x)$. Во втором множителе $(x^2 + x)$ вынесем за скобки $x$: $(x - y)x(x + 1)$. Запишем множители в стандартном порядке: $x(x + 1)(x - y)$.
Ответ: $x(x + 1)(x - y)$.

946. Разложите на множители:

а) $x^2 - y^2 - x - y$;

б) $a^2 - b^2 - a + b$;

в) $m + n + m^2 - n^2$;

г) $k^2 - k - p^2 - p$.

а) $x^2 - y^2 - x - y$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Выражение $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, а из $-x - y$ можно вынести за скобки $-1$.
$x^2 - y^2 - x - y = (x^2 - y^2) - (x + y)$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в первых скобках:
$(x - y)(x + y) - (x + y)$
Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$, который можно вынести за скобки:
$(x + y)((x - y) - 1) = (x + y)(x - y - 1)$
Ответ: $(x + y)(x - y - 1)$

б) $a^2 - b^2 - a + b$

Сгруппируем слагаемые аналогично предыдущему примеру. Выражение $a^2 - b^2$ является разностью квадратов, а из $-a + b$ можно вынести $-1$.
$a^2 - b^2 - a + b = (a^2 - b^2) - (a - b)$
Применим формулу разности квадратов к первым скобкам:
$(a - b)(a + b) - (a - b)$
Общий множитель $(a - b)$ вынесем за скобки:
$(a - b)((a + b) - 1) = (a - b)(a + b - 1)$
Ответ: $(a - b)(a + b - 1)$

в) $m + n + m^2 - n^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы объединить разность квадратов и сумму первых степеней.
$m + n + m^2 - n^2 = (m^2 - n^2) + (m + n)$
Применим формулу разности квадратов $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$:
$(m - n)(m + n) + (m + n)$
Вынесем общий множитель $(m + n)$ за скобки:
$(m + n)((m - n) + 1) = (m + n)(m - n + 1)$
Ответ: $(m + n)(m - n + 1)$

г) $k^2 - k - p^2 - p$

Сгруппируем слагаемые, объединяя квадраты и линейные члены.
$k^2 - k - p^2 - p = (k^2 - p^2) - (k + p)$
Раскладываем разность квадратов $k^2 - p^2$ по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(k - p)(k + p) - (k + p)$
Вынесем общий множитель $(k + p)$ за скобки:
$(k + p)((k - p) - 1) = (k + p)(k - p - 1)$
Ответ: $(k + p)(k - p - 1)$