Номер 946, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 946, страница 188.

Условие.

946. Разложите на множители:

а) $x^2 - y^2 - x - y$;

б) $a^2 - b^2 - a + b$;

в) $m + n + m^2 - n^2$;

г) $k^2 - k - p^2 - p$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 - y^2 - x - y$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Выражение $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, а из $-x - y$ можно вынести за скобки $-1$.
$x^2 - y^2 - x - y = (x^2 - y^2) - (x + y)$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в первых скобках:
$(x - y)(x + y) - (x + y)$
Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$, который можно вынести за скобки:
$(x + y)((x - y) - 1) = (x + y)(x - y - 1)$
Ответ: $(x + y)(x - y - 1)$

б) $a^2 - b^2 - a + b$

Сгруппируем слагаемые аналогично предыдущему примеру. Выражение $a^2 - b^2$ является разностью квадратов, а из $-a + b$ можно вынести $-1$.
$a^2 - b^2 - a + b = (a^2 - b^2) - (a - b)$
Применим формулу разности квадратов к первым скобкам:
$(a - b)(a + b) - (a - b)$
Общий множитель $(a - b)$ вынесем за скобки:
$(a - b)((a + b) - 1) = (a - b)(a + b - 1)$
Ответ: $(a - b)(a + b - 1)$

в) $m + n + m^2 - n^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы объединить разность квадратов и сумму первых степеней.
$m + n + m^2 - n^2 = (m^2 - n^2) + (m + n)$
Применим формулу разности квадратов $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$:
$(m - n)(m + n) + (m + n)$
Вынесем общий множитель $(m + n)$ за скобки:
$(m + n)((m - n) + 1) = (m + n)(m - n + 1)$
Ответ: $(m + n)(m - n + 1)$

г) $k^2 - k - p^2 - p$

Сгруппируем слагаемые, объединяя квадраты и линейные члены.
$k^2 - k - p^2 - p = (k^2 - p^2) - (k + p)$
Раскладываем разность квадратов $k^2 - p^2$ по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(k - p)(k + p) - (k + p)$
Вынесем общий множитель $(k + p)$ за скобки:
$(k + p)((k - p) - 1) = (k + p)(k - p - 1)$
Ответ: $(k + p)(k - p - 1)$