Номер 953, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 953, страница 189.

Условие.

953. Докажите, что если к произведению трёх последовательных целых чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть три последовательных целых числа представлены в виде $n-1$, $n$, и $n+1$, где $n$ — среднее из этих чисел, являющееся целым числом.

Сначала найдем произведение этих трёх чисел:

$P = (n-1) \cdot n \cdot (n+1)$

Чтобы упростить это выражение, сгруппируем первый и третий множители и применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$P = n \cdot ((n-1)(n+1)) = n \cdot (n^2 - 1^2) = n(n^2 - 1)$

Раскрыв скобки, получим:

$P = n^3 - n$

Теперь, согласно условию задачи, к этому произведению необходимо прибавить среднее из трёх чисел, то есть $n$. Обозначим искомую сумму как $S$:

$S = P + n = (n^3 - n) + n$

Упростим полученное выражение:

$S = n^3 - n + n = n^3$

Результат $n^3$ является кубом среднего числа $n$. Таким образом, мы доказали, что если к произведению трёх последовательных целых чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.

Ответ: Утверждение доказано.