Номер 951, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 951, страница 189.

Условие.

951. Докажите, что значения многочлена $x^3 - x$ при целых значениях $x$ кратны числу 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что значения многочлена $x^3 - x$ кратны числу 6 при любых целых значениях $x$, разложим данный многочлен на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 - x = x(x^2 - 1)$

Далее, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, разложим выражение в скобках:

$x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$

Переставив множители для наглядности, мы видим, что исходный многочлен представляет собой произведение трех последовательных целых чисел: $(x-1)x(x+1)$.

Теперь докажем, что это произведение всегда делится на 6. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 2 и на 3, так как числа 2 и 3 являются взаимно простыми и их произведение равно 6.

1. Делимость на 2. Среди любых двух последовательных целых чисел одно обязательно является четным. В произведении $(x-1)x(x+1)$ содержится как минимум одна пара последовательных чисел (например, $x-1$ и $x$). Это означает, что хотя бы один из множителей делится на 2, а следовательно, и всё произведение делится на 2.

2. Делимость на 3. Среди любых трех последовательных целых чисел ровно одно из них обязательно делится на 3. Наше выражение как раз и является произведением трех последовательных целых чисел. В зависимости от остатка от деления $x$ на 3, один из множителей — $(x-1)$, $x$ или $(x+1)$ — будет кратен 3. Следовательно, всё произведение всегда делится на 3.

Поскольку выражение $x^3 - x = (x-1)x(x+1)$ делится и на 2, и на 3 при любом целом значении $x$, оно также делится и на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Значение многочлена $x^3 - x$ при любом целом $x$ равно произведению трех последовательных целых чисел $(x-1)x(x+1)$. Такое произведение всегда делится на 2 (так как содержит хотя бы одно четное число) и на 3 (так как содержит одно число, кратное трем), а значит, делится и на 6.