Номер 944, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 944, страница 188.

Условие.

944. Выполните разложение на множители:

а) $x^2 - 2xc + c^2 - d^2;$

б) $c^2 + 2c + 1 - a^2;$

в) $p^2 - x^2 + 6x - 9;$

г) $x^2 - a^2 - 10a - 25.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для разложения данных многочленов на множители будем использовать метод группировки и формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

а) $x^2 - 2xc + c^2 - d^2$

Сгруппируем первые три слагаемых: $(x^2 - 2xc + c^2)$. Это выражение представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=c$.

$(x^2 - 2xc + c^2) - d^2 = (x-c)^2 - d^2$

Теперь мы имеем разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (x-c)$ и $b = d$.

$(x-c)^2 - d^2 = ((x-c) - d)((x-c) + d) = (x-c-d)(x-c+d)$

Ответ: $(x-c-d)(x-c+d)$

б) $c^2 + 2c + 1 - a^2$

Сгруппируем первые три слагаемых: $(c^2 + 2c + 1)$. Это выражение является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=c$ и $b=1$.

$(c^2 + 2c + 1) - a^2 = (c+1)^2 - a^2$

Получили разность квадратов. Раскладываем по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = (c+1)$ и $y = a$.

$(c+1)^2 - a^2 = ((c+1) - a)((c+1) + a) = (c-a+1)(c+a+1)$

Ответ: $(c-a+1)(c+a+1)$

в) $p^2 - x^2 + 6x - 9$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки:

$p^2 - (x^2 - 6x + 9)$

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности $(x-3)^2$.

$p^2 - (x-3)^2$

Теперь перед нами разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = p$ и $b = (x-3)$.

$(p - (x-3))(p + (x-3)) = (p-x+3)(p+x-3)$

Ответ: $(p-x+3)(p+x-3)$

г) $x^2 - a^2 - 10a - 25$

Сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки знак минус:

$x^2 - (a^2 + 10a + 25)$

Выражение в скобках $a^2 + 10a + 25$ является полным квадратом суммы $(a+5)^2$.

$x^2 - (a+5)^2$

Получили разность квадратов. Используем формулу $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$, где $b = x$ и $c = (a+5)$.

$(x - (a+5))(x + (a+5)) = (x-a-5)(x+a+5)$

Ответ: $(x-a-5)(x+a+5)$