Номер 938, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 938, страница 188.

Условие.

938. Разложите на множители:

а) $p^4 - 16$;

б) $x^4 - 81$;

в) $y^8 - 1$;

г) $a^4 - b^8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения выражения $p^4 - 16$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Сначала представим $p^4$ как $(p^2)^2$ и $16$ как $4^2$.
$p^4 - 16 = (p^2)^2 - 4^2 = (p^2 - 4)(p^2 + 4)$.
Теперь заметим, что множитель $(p^2 - 4)$ также является разностью квадратов, так как $p^2 = (p)^2$ и $4 = 2^2$.
$p^2 - 4 = (p - 2)(p + 2)$.
Подставим это разложение в наше выражение:
$(p^2 - 4)(p^2 + 4) = (p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)$.
Множитель $(p^2 + 4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $(p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)$

б) Для разложения выражения $x^4 - 81$ на множители применим тот же подход.
Представим $x^4$ как $(x^2)^2$ и $81$ как $9^2$.
$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$.
Множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $9 = 3^2$.
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Подставим обратно:
$(x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$

в) Разложим на множители выражение $y^8 - 1$.
Представим $y^8$ как $(y^4)^2$ и $1$ как $1^2$.
$y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)$.
Теперь разложим множитель $(y^4 - 1)$, который также является разностью квадратов: $y^4 = (y^2)^2$.
$y^4 - 1 = (y^2)^2 - 1^2 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$.
И снова, множитель $(y^2 - 1)$ — это разность квадратов.
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.
Собираем все вместе:
$y^8 - 1 = (y^4 - 1)(y^4 + 1) = (y^2 - 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1) = (y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$

г) Разложим на множители выражение $a^4 - b^8$.
Представим выражение как разность квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$.
$a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 = (a^2 - b^4)(a^2 + b^4)$.
Множитель $(a^2 - b^4)$ является разностью квадратов, так как $b^4 = (b^2)^2$.
$a^2 - b^4 = a^2 - (b^2)^2 = (a - b^2)(a + b^2)$.
Подставляем в наше выражение:
$(a^2 - b^4)(a^2 + b^4) = (a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.
Ответ: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$