Номер 936, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 936, страница 188.

Условие.

936. Выполните разложение на множители:

a) $mx^2 - 49m$;

б) $ab^2 - 4ac^2$;

в) $4b^3 - b$;

г) $a^3 - ac^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения на множители выражения $mx^2 - 49m$ первым шагом вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$mx^2 - 49m = m(x^2 - 49)$

Выражение в скобках, $x^2 - 49$, представляет собой разность квадратов, так как $x^2$ является квадратом $x$, а $49$ является квадратом $7$ ($49 = 7^2$).

Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = x$ и $b = 7$, следовательно:

$x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$

Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$m(x^2 - 49) = m(x - 7)(x + 7)$

Ответ: $m(x - 7)(x + 7)$

---

б) В выражении $ab^2 - 4ac^2$ найдём и вынесем за скобки общий множитель $a$:

$ab^2 - 4ac^2 = a(b^2 - 4c^2)$

Выражение в скобках, $b^2 - 4c^2$, также является разностью квадратов. Первое слагаемое $b^2$ — это квадрат $b$, а второе, $4c^2$, — это квадрат $2c$ ($4c^2 = (2c)^2$).

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = b$ и $y = 2c$:

$b^2 - (2c)^2 = (b - 2c)(b + 2c)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$a(b^2 - 4c^2) = a(b - 2c)(b + 2c)$

Ответ: $a(b - 2c)(b + 2c)$

---

в) Для выражения $4b^3 - b$ вынесем за скобки общий множитель $b$:

$4b^3 - b = b(4b^2 - 1)$

Выражение в скобках, $4b^2 - 1$, является разностью квадратов, поскольку $4b^2$ можно представить как $(2b)^2$, а $1$ как $1^2$.

Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ с $a = 2b$ и $b = 1$, получаем:

$(2b)^2 - 1^2 = (2b - 1)(2b + 1)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$b(4b^2 - 1) = b(2b - 1)(2b + 1)$

Ответ: $b(2b - 1)(2b + 1)$

---

г) В выражении $a^3 - ac^2$ вынесем за скобки общий множитель $a$:

$a^3 - ac^2 = a(a^2 - c^2)$

Выражение в скобках, $a^2 - c^2$, является классической разностью квадратов.

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a$ и $y = c$:

$a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$

Следовательно, полное разложение на множители имеет вид:

$a(a^2 - c^2) = a(a - c)(a + c)$

Ответ: $a(a - c)(a + c)$