Номер 930, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 930, страница 185.

Условие.

930. Представьте данный трёхчлен, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) $25y^2 - 15ay + 9a^2$;

б) $15ab - 9a^2 - 6\frac{1}{4}b^2$;

в) $4b^2 + 0.25c^2 - 2bc$;

г) $0.36a^2 + 0.04y^2 - 0.24ay$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы представить трехчлен в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном трехчлене $25y^2 - 15ay + 9a^2$ мы можем предположить, что $x^2 = 25y^2$ и $y^2 = 9a^2$. Отсюда $x = \sqrt{25y^2} = 5y$ и $y = \sqrt{9a^2} = 3a$. Теперь проверим, совпадает ли удвоенное произведение $2xy$ со средним членом трехчлена $-15ay$. $2xy = 2 \cdot 5y \cdot 3a = 30ay$. Поскольку $30ay \neq 15ay$, данный трехчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена. Также его нельзя представить в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, так как знаки членов не соответствуют ни одной из формул $-(x+y)^2$ или $-(x-y)^2$.
Ответ: представить в требуемом виде невозможно.

б) Рассмотрим трехчлен $15ab - 9a^2 - 6\frac{1}{4}b^2$. Переставим члены и вынесем знак минуса за скобки: $-(9a^2 - 15ab + 6\frac{1}{4}b^2)$. Теперь проверим, является ли выражение в скобках квадратом разности. Представим смешанную дробь в виде неправильной: $6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$. Выражение в скобках: $9a^2 - 15ab + \frac{25}{4}b^2$. Предположим, что $x^2 = 9a^2$ и $y^2 = \frac{25}{4}b^2$. Тогда $x = \sqrt{9a^2} = 3a$ и $y = \sqrt{\frac{25}{4}b^2} = \frac{5}{2}b$. Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 3a \cdot \frac{5}{2}b = 15ab$. Удвоенное произведение совпадает со средним членом выражения в скобках. Следовательно, $9a^2 - 15ab + \frac{25}{4}b^2 = (3a - \frac{5}{2}b)^2$. Таким образом, исходный трехчлен равен $-(3a - \frac{5}{2}b)^2$.
Ответ: $-(3a - \frac{5}{2}b)^2$.

в) Рассмотрим трехчлен $4b^2 + 0.25c^2 - 2bc$. Переставим члены для удобства: $4b^2 - 2bc + 0.25c^2$. Проверим, соответствует ли он формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Предположим, что $x^2 = 4b^2$ и $y^2 = 0.25c^2$. Тогда $x = \sqrt{4b^2} = 2b$ и $y = \sqrt{0.25c^2} = 0.5c$. Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 2b \cdot 0.5c = 2bc$. Оно совпадает со средним членом трехчлена. Значит, данный трехчлен можно представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: $(2b - 0.5c)^2$.

г) Рассмотрим трехчлен $0.36a^2 + 0.04y^2 - 0.24ay$. Переставим члены: $0.36a^2 - 0.24ay + 0.04y^2$. Проверим, соответствует ли он формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Предположим, что $x^2 = 0.36a^2$ и $y^2 = 0.04y^2$. Тогда $x = \sqrt{0.36a^2} = 0.6a$ и $y = \sqrt{0.04y^2} = 0.2y$. Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 0.6a \cdot 0.2y = 0.24ay$. Оно совпадает со средним членом трехчлена. Следовательно, данный трехчлен является квадратом двучлена.
Ответ: $(0.6a - 0.2y)^2$.