Номер 924, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 924, страница 185.

Условие.

924. (Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выра-жение

$(n + 8)(n - 4) - (n + 3)(n - 2) + ...$

пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом n делится на 3.

1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.

2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетво-рять пропущенное число.

3) Впишите вместо многоточия какой-либо число, удовлетворяющее условию задачи.

4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.

Сначала раскроем скобки для каждого произведения двучленов.Первое произведение: $(n+8)(n-4) = n \cdot n + n \cdot (-4) + 8 \cdot n + 8 \cdot (-4) = n^2 - 4n + 8n - 32 = n^2 + 4n - 32$.Второе произведение: $(n+3)(n-2) = n \cdot n + n \cdot (-2) + 3 \cdot n + 3 \cdot (-2) = n^2 - 2n + 3n - 6 = n^2 + n - 6$.

Теперь выполним вычитание второго многочлена из первого:$(n^2 + 4n - 32) - (n^2 + n - 6) = n^2 + 4n - 32 - n^2 - n + 6 = (n^2 - n^2) + (4n - n) + (-32 + 6) = 3n - 26$.

Ответ: $3n - 26$.

2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.

Обозначим пропущенное число через $x$. Тогда полное выражение, согласно результату из пункта 1, можно записать как $3n - 26 + x$. По условию задачи, это выражение должно делиться на 3 при любом целом значении $n$. Слагаемое $3n$ всегда делится на 3, так как является произведением целого числа $n$ на 3. Следовательно, чтобы вся сумма делилась на 3, необходимо, чтобы оставшаяся часть выражения, $-26 + x$, также делилась на 3. Это означает, что $-26 + x$ должно быть кратно 3. Используя сравнение по модулю, запишем это условие как $-26 + x \equiv 0 \pmod{3}$. Поскольку остаток от деления -26 на 3 равен 1 (так как $-26 = 3 \cdot (-9) + 1$), получаем: $1 + x \equiv 0 \pmod{3}$. Отсюда $x \equiv -1 \pmod{3}$ или, что то же самое, $x \equiv 2 \pmod{3}$.

Ответ: Пропущенное число при делении на 3 должно давать в остатке 2.

3) Впишите вместо многоточия каждый какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.

Согласно условию из пункта 2, нам нужно найти любое число, которое при делении на 3 дает остаток 2. Такие числа можно представить формулой $x = 3k + 2$, где $k$ — любое целое число. Например: если $k=0$, то $x = 2$; если $k=1$, то $x = 5$; если $k=-1$, то $x = -1$. Любое из этих чисел подходит. В качестве примера впишем число 2.

Ответ: 2 (другие возможные ответы: 5, 8, -1, -4 и т.д.).

4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

Проверим решение, подставив вместо многоточия число 2. Исходное выражение примет вид: $(n+8)(n-4) - (n+3)(n-2) + 2$. Используя упрощение из пункта 1, получаем: $(3n - 26) + 2 = 3n - 24$. Чтобы проверить, делится ли это выражение на 3, вынесем общий множитель 3 за скобки: $3n - 24 = 3(n - 8)$. Так как $n$ — целое число, то $n-8$ также является целым числом. Выражение $3(n-8)$ представляет собой произведение числа 3 на целое число, а значит, оно всегда делится на 3. Проверка пройдена успешно.

Ответ: Проверка подтверждает, что при подстановке числа 2 (или любого другого числа, дающего остаток 2 при делении на 3) значение выражения делится на 3 при любом целом $n$.