Номер 921, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 921, страница 184.

Условие.

921. Упростите выражение:

а) $(3m - a)(a + 3m) - (2a + m)(3a - m);$

б) $(x - 4y)(x + 3y) + (x - 3y)(3y + x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Упростим выражение $(3m - a)(a + 3m) - (2a + m)(3a - m)$.

Сначала преобразуем первое произведение $(3m - a)(a + 3m)$. Заметим, что слагаемые во второй скобке можно поменять местами: $(a + 3m) = (3m + a)$. Тогда произведение принимает вид $(3m - a)(3m + a)$. Это формула разности квадратов $(p-q)(p+q) = p^2 - q^2$. Применим ее:
$(3m - a)(3m + a) = (3m)^2 - a^2 = 9m^2 - a^2$.

Далее раскроем скобки во втором произведении $(2a + m)(3a - m)$ по правилу умножения многочленов:
$(2a + m)(3a - m) = 2a \cdot 3a - 2a \cdot m + m \cdot 3a - m \cdot m = 6a^2 - 2am + 3am - m^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$6a^2 + (-2am + 3am) - m^2 = 6a^2 + am - m^2$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное и выполним вычитание. Важно не забыть поменять знаки у всех членов второго выражения при раскрытии скобок:
$(9m^2 - a^2) - (6a^2 + am - m^2) = 9m^2 - a^2 - 6a^2 - am + m^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(9m^2 + m^2) + (-a^2 - 6a^2) - am = 10m^2 - 7a^2 - am$.

Ответ: $10m^2 - 7a^2 - am$

б) Упростим выражение $(x - 4y)(x + 3y) + (x - 3y)(3y + x)$.

Сначала раскроем скобки в первом произведении $(x - 4y)(x + 3y)$:
$(x - 4y)(x + 3y) = x \cdot x + x \cdot 3y - 4y \cdot x - 4y \cdot 3y = x^2 + 3xy - 4xy - 12y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (3xy - 4xy) - 12y^2 = x^2 - xy - 12y^2$.

Теперь рассмотрим второе произведение $(x - 3y)(3y + x)$. Переставив слагаемые во второй скобке, получим $(x - 3y)(x + 3y)$, что является формулой разности квадратов:
$(x - 3y)(x + 3y) = x^2 - (3y)^2 = x^2 - 9y^2$.

Теперь сложим полученные результаты:
$(x^2 - xy - 12y^2) + (x^2 - 9y^2) = x^2 - xy - 12y^2 + x^2 - 9y^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + x^2) - xy + (-12y^2 - 9y^2) = 2x^2 - xy - 21y^2$.

Ответ: $2x^2 - xy - 21y^2$