Страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

920. Преобразуйте в многочлен:

а) $4(m - n)^2 + 4m(m - n);$

б) $5x(x - y) - 2(y - x)^2;$

в) $(y + 7)^2 - 2(y + 10)(y + 4);$

г) $(x - 5)(6 + 4x) - 3(1 - x)^2.$

а) $4(m - n)^2 + 4m(m - n)$
Для преобразования выражения в многочлен, сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для второго слагаемого применим распределительный закон умножения.
$4(m - n)^2 = 4(m^2 - 2mn + n^2) = 4m^2 - 8mn + 4n^2$
$4m(m - n) = 4m \cdot m - 4m \cdot n = 4m^2 - 4mn$
Теперь сложим полученные выражения:
$(4m^2 - 8mn + 4n^2) + (4m^2 - 4mn)$
Приведем подобные слагаемые:
$(4m^2 + 4m^2) + (-8mn - 4mn) + 4n^2 = 8m^2 - 12mn + 4n^2$
Ответ: $8m^2 - 12mn + 4n^2$

б) $5x(x - y) - 2(y - x)^2$
Обратим внимание, что $(y - x) = -(x - y)$, следовательно, $(y - x)^2 = (-(x - y))^2 = (x - y)^2$. Заменим это в исходном выражении:
$5x(x - y) - 2(x - y)^2$
Теперь раскроем скобки. Первое слагаемое по распределительному закону, второе — по формуле квадрата разности.
$5x \cdot x - 5x \cdot y - 2(x^2 - 2xy + y^2) = 5x^2 - 5xy - 2x^2 + 4xy - 2y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(5x^2 - 2x^2) + (-5xy + 4xy) - 2y^2 = 3x^2 - xy - 2y^2$
Ответ: $3x^2 - xy - 2y^2$

в) $(y + 7)^2 - 2(y + 10)(y + 4)$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для второго слагаемого перемножим два двучлена.
$(y + 7)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2 = y^2 + 14y + 49$
$(y + 10)(y + 4) = y \cdot y + y \cdot 4 + 10 \cdot y + 10 \cdot 4 = y^2 + 4y + 10y + 40 = y^2 + 14y + 40$
Подставим полученные выражения в исходное:
$(y^2 + 14y + 49) - 2(y^2 + 14y + 40)$
Раскроем скобки, умножив многочлен на $-2$:
$y^2 + 14y + 49 - 2y^2 - 28y - 80$
Приведем подобные слагаемые:
$(y^2 - 2y^2) + (14y - 28y) + (49 - 80) = -y^2 - 14y - 31$
Ответ: $-y^2 - 14y - 31$

г) $(x - 5)(6 + 4x) - 3(1 - x)^2$
Сначала выполним умножение двучленов и возведение в квадрат.
$(x - 5)(6 + 4x) = x \cdot 6 + x \cdot 4x - 5 \cdot 6 - 5 \cdot 4x = 6x + 4x^2 - 30 - 20x = 4x^2 - 14x - 30$
$(1 - x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2$
Подставим в исходное выражение:
$(4x^2 - 14x - 30) - 3(1 - 2x + x^2)$
Раскроем скобки, умножив многочлен на $-3$:
$4x^2 - 14x - 30 - 3 + 6x - 3x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 3x^2) + (-14x + 6x) + (-30 - 3) = x^2 - 8x - 33$
Ответ: $x^2 - 8x - 33$

923. Докажите, что ни при каком целом n значение выражения $(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13)$ не делится на 6.

Чтобы доказать утверждение, необходимо сначала упростить данное алгебраическое выражение.

Исходное выражение: $(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13)$.

Шаг 1: Раскроем скобки в каждом слагаемом.

Для первого слагаемого $(2n + 1)(n + 5)$ выполним умножение многочленов:
$(2n + 1)(n + 5) = 2n \cdot n + 2n \cdot 5 + 1 \cdot n + 1 \cdot 5 = 2n^2 + 10n + n + 5 = 2n^2 + 11n + 5$.

Для второго слагаемого $2(n + 3)(n - 3)$ применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$2(n + 3)(n - 3) = 2(n^2 - 3^2) = 2(n^2 - 9) = 2n^2 - 18$.

Третье слагаемое — это просто раскрытие скобок с учётом знака минус:
$-(5n + 13) = -5n - 13$.

Шаг 2: Подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые.

$(2n^2 + 11n + 5) - (2n^2 - 18) - (5n + 13) = 2n^2 + 11n + 5 - 2n^2 + 18 - 5n - 13$.

Сгруппируем подобные члены:
$(2n^2 - 2n^2) + (11n - 5n) + (5 + 18 - 13) = 0 + 6n + 10 = 6n + 10$.

Шаг 3: Проанализируем полученное выражение $6n + 10$ на предмет делимости на 6.

По условию, $n$ — целое число.Слагаемое $6n$ всегда делится на 6 без остатка, так как является произведением целого числа $n$ и числа 6.Слагаемое 10 при делении на 6 даёт в остатке 4 ($10 = 6 \cdot 1 + 4$).

Следовательно, вся сумма $6n + 10$ при делении на 6 будет давать такой же остаток, как и 10, то есть 4.Это можно показать, представив выражение в виде $6n + 6 + 4 = 6(n+1) + 4$. Так как $n$ — целое, то $n+1$ тоже целое, и $6(n+1)$ делится на 6. Остаток от деления всего выражения на 6 равен 4.

Поскольку для делимости на 6 без остатка необходимо, чтобы остаток был равен 0, а у нас он всегда равен 4, то значение выражения $6n + 10$ не делится на 6 ни при каком целом значении $n$.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $6n + 10$. Для любого целого $n$ слагаемое $6n$ кратно 6, а слагаемое 10 при делении на 6 дает остаток 4. Таким образом, всё выражение при делении на 6 всегда дает остаток 4, а значит, не делится на 6 нацело.

918. Какие из выражений $2x^2y$, $4a^2 - b(a - 3b)$, $\frac{a^2}{a-3}$, $\frac{x^2 - 1}{8}$, $9x - \frac{1}{2}$ являются целыми?

Целое выражение — это алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Главное условие — отсутствие деления на переменную. Проанализируем каждое из предложенных выражений.

$2x^2y$
Данное выражение является одночленом. Оно представляет собой произведение числа и переменных. Деление на переменную отсутствует, следовательно, выражение является целым.
Ответ: является целым.

$4a^2 - b(a - 3b)$
Преобразуем выражение, раскрыв скобки: $4a^2 - ab + 3b^2$. Полученный результат является многочленом, который не содержит операции деления на переменную. Следовательно, выражение является целым.
Ответ: является целым.

$\frac{a^2}{a-3}$
Это выражение содержит деление на знаменатель $(a-3)$, в котором присутствует переменная $a$. Выражения, содержащие деление на переменную, не являются целыми. Они называются дробно-рациональными.
Ответ: не является целым.

$\frac{x^2 - 1}{8}$
В этом выражении есть операция деления, но делителем выступает число 8, а не переменная. Деление на число (константу) допускается в целых выражениях. Это выражение можно представить как многочлен $\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{8}$. Следовательно, выражение является целым.
Ответ: является целым.

$9x - \frac{1}{2}$
Это выражение является многочленом, так как представляет собой алгебраическую сумму одночленов. Оно не содержит деления на переменную. Следовательно, выражение является целым.
Ответ: является целым.

921. Упростите выражение:

а) $(3m - a)(a + 3m) - (2a + m)(3a - m);$

б) $(x - 4y)(x + 3y) + (x - 3y)(3y + x).$

а) Упростим выражение $(3m - a)(a + 3m) - (2a + m)(3a - m)$.

Сначала преобразуем первое произведение $(3m - a)(a + 3m)$. Заметим, что слагаемые во второй скобке можно поменять местами: $(a + 3m) = (3m + a)$. Тогда произведение принимает вид $(3m - a)(3m + a)$. Это формула разности квадратов $(p-q)(p+q) = p^2 - q^2$. Применим ее:
$(3m - a)(3m + a) = (3m)^2 - a^2 = 9m^2 - a^2$.

Далее раскроем скобки во втором произведении $(2a + m)(3a - m)$ по правилу умножения многочленов:
$(2a + m)(3a - m) = 2a \cdot 3a - 2a \cdot m + m \cdot 3a - m \cdot m = 6a^2 - 2am + 3am - m^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$6a^2 + (-2am + 3am) - m^2 = 6a^2 + am - m^2$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное и выполним вычитание. Важно не забыть поменять знаки у всех членов второго выражения при раскрытии скобок:
$(9m^2 - a^2) - (6a^2 + am - m^2) = 9m^2 - a^2 - 6a^2 - am + m^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(9m^2 + m^2) + (-a^2 - 6a^2) - am = 10m^2 - 7a^2 - am$.

Ответ: $10m^2 - 7a^2 - am$

б) Упростим выражение $(x - 4y)(x + 3y) + (x - 3y)(3y + x)$.

Сначала раскроем скобки в первом произведении $(x - 4y)(x + 3y)$:
$(x - 4y)(x + 3y) = x \cdot x + x \cdot 3y - 4y \cdot x - 4y \cdot 3y = x^2 + 3xy - 4xy - 12y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (3xy - 4xy) - 12y^2 = x^2 - xy - 12y^2$.

Теперь рассмотрим второе произведение $(x - 3y)(3y + x)$. Переставив слагаемые во второй скобке, получим $(x - 3y)(x + 3y)$, что является формулой разности квадратов:
$(x - 3y)(x + 3y) = x^2 - (3y)^2 = x^2 - 9y^2$.

Теперь сложим полученные результаты:
$(x^2 - xy - 12y^2) + (x^2 - 9y^2) = x^2 - xy - 12y^2 + x^2 - 9y^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + x^2) - xy + (-12y^2 - 9y^2) = 2x^2 - xy - 21y^2$.

Ответ: $2x^2 - xy - 21y^2$

919. Представьте в виде многочлена:

а) сумму многочлена $x^3 + 7x^2 + 8$ и произведения многочленов $x^2 - 6x + 4$ и $x - 1$;

б) разность произведения многочленов $a^2 + 7a - 4$ и $a - 3$ и многочлена $a^3 + 4a^2 - 29a + 11$.

а) Необходимо представить в виде многочлена сумму многочлена $x^3 + 7x^2 + 8$ и произведения многочленов $x^2 - 6x + 4$ и $x - 1$. Запишем это выражение:

$(x^3 + 7x^2 + 8) + (x^2 - 6x + 4)(x - 1)$

1. Сначала выполним умножение многочленов. Для этого каждый член первого многочлена умножим на каждый член второго многочлена:

$(x^2 - 6x + 4)(x - 1) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-1) - 6x \cdot x - 6x \cdot (-1) + 4 \cdot x + 4 \cdot (-1) = x^3 - x^2 - 6x^2 + 6x + 4x - 4$

2. Приведем подобные слагаемые в полученном произведении:

$x^3 + (-x^2 - 6x^2) + (6x + 4x) - 4 = x^3 - 7x^2 + 10x - 4$

3. Теперь выполним сложение с первым многочленом:

$(x^3 + 7x^2 + 8) + (x^3 - 7x^2 + 10x - 4) = x^3 + 7x^2 + 8 + x^3 - 7x^2 + 10x - 4$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в итоговом выражении:

$(x^3 + x^3) + (7x^2 - 7x^2) + 10x + (8 - 4) = 2x^3 + 10x + 4$

Ответ: $2x^3 + 10x + 4$.

б) Необходимо представить в виде многочлена разность произведения многочленов $a^2 + 7a - 4$ и $a - 3$ и многочлена $a^3 + 4a^2 - 29a + 11$. Запишем это выражение:

$(a^2 + 7a - 4)(a - 3) - (a^3 + 4a^2 - 29a + 11)$

1. Сначала найдем произведение многочленов:

$(a^2 + 7a - 4)(a - 3) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-3) + 7a \cdot a + 7a \cdot (-3) - 4 \cdot a - 4 \cdot (-3) = a^3 - 3a^2 + 7a^2 - 21a - 4a + 12$

2. Приведем подобные слагаемые в полученном произведении:

$a^3 + (-3a^2 + 7a^2) + (-21a - 4a) + 12 = a^3 + 4a^2 - 25a + 12$

3. Теперь выполним вычитание. Из полученного произведения вычтем второй многочлен. При раскрытии скобок знаки слагаемых в вычитаемом многочлене изменятся на противоположные:

$(a^3 + 4a^2 - 25a + 12) - (a^3 + 4a^2 - 29a + 11) = a^3 + 4a^2 - 25a + 12 - a^3 - 4a^2 + 29a - 11$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (4a^2 - 4a^2) + (-25a + 29a) + (12 - 11) = 4a + 1$

Ответ: $4a + 1$.

922. Зная, что $a = 2x - 5$, $b = 8x + 1$, $c = 4x - 2$, представьте в виде многочлена с переменной x выражение $ab - c^2$.

Для того чтобы представить выражение $ab - c^2$ в виде многочлена с переменной $x$, необходимо подставить в него заданные выражения для $a$, $b$ и $c$ и выполнить алгебраические преобразования.

Нам даны следующие выражения:

$a = 2x - 5$

$b = 8x + 1$

$c = 4x - 2$

Подставим их в выражение $ab - c^2$:

$ab - c^2 = (2x - 5)(8x + 1) - (4x - 2)^2$

Выполним действия по шагам.

1. Сначала найдем произведение $ab$, перемножив два многочлена:

$(2x - 5)(8x + 1) = 2x \cdot 8x + 2x \cdot 1 - 5 \cdot 8x - 5 \cdot 1 = 16x^2 + 2x - 40x - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$16x^2 - 38x - 5$

2. Теперь возведем в квадрат выражение $c$ по формуле квадрата разности $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$:

$c^2 = (4x - 2)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 2 + 2^2 = 16x^2 - 16x + 4$

3. Подставим полученные многочлены обратно в исходное выражение $ab - c^2$:

$(16x^2 - 38x - 5) - (16x^2 - 16x + 4)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$16x^2 - 38x - 5 - 16x^2 + 16x - 4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 - 16x^2) + (-38x + 16x) + (-5 - 4)$

$0 - 22x - 9 = -22x - 9$

Ответ: $-22x - 9$.