Страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

886. Вычислите:

а) $47^2 - 37^2$;

б) $53^2 - 63^2$;

в) $126^2 - 74^2$;

г) $21,3^2 - 21,2^2$;

д) $0,849^2 - 0,151^2$;

е) $\left(5\frac{2}{3}\right)^2 - \left(4\frac{1}{3}\right)^2$.

Для решения всех примеров используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $47^2 - 37^2$
Применяем формулу, где $a = 47$ и $b = 37$:
$47^2 - 37^2 = (47 - 37)(47 + 37) = 10 \cdot 84 = 840$.
Ответ: 840.

б) $53^2 - 63^2$
Применяем формулу, где $a = 53$ и $b = 63$:
$53^2 - 63^2 = (53 - 63)(53 + 63) = (-10) \cdot 116 = -1160$.
Ответ: -1160.

в) $126^2 - 74^2$
Применяем формулу, где $a = 126$ и $b = 74$:
$126^2 - 74^2 = (126 - 74)(126 + 74) = 52 \cdot 200 = 10400$.
Ответ: 10400.

г) $21,3^2 - 21,2^2$
Применяем формулу, где $a = 21,3$ и $b = 21,2$:
$21,3^2 - 21,2^2 = (21,3 - 21,2)(21,3 + 21,2) = 0,1 \cdot 42,5 = 4,25$.
Ответ: 4,25.

д) $0,849^2 - 0,151^2$
Применяем формулу, где $a = 0,849$ и $b = 0,151$:
$0,849^2 - 0,151^2 = (0,849 - 0,151)(0,849 + 0,151) = 0,698 \cdot 1 = 0,698$.
Ответ: 0,698.

е) $(5\frac{2}{3})^2 - (4\frac{1}{3})^2$
Применяем формулу, где $a = 5\frac{2}{3}$ и $b = 4\frac{1}{3}$:
$(5\frac{2}{3})^2 - (4\frac{1}{3})^2 = (5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3})(5\frac{2}{3} + 4\frac{1}{3})$.
Вычислим каждую скобку отдельно:
$5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3} = (5 - 4) + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$.
$5\frac{2}{3} + 4\frac{1}{3} = (5 + 4) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 9 + 1 = 10$.
Перемножим результаты:
$1\frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{4}{3} \cdot 10 = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$.
Ответ: $13\frac{1}{3}$.

889. Разложите на множители:

а) $x^4 - 9$;

б) $25 - n^6$;

в) $m^8 - a^2$;

г) $y^2 - p^4$;

д) $c^6 - d^6$;

е) $x^6 - a^4$;

ж) $b^4 - y^{10}$;

з) $m^8 - n^6$;

и) $a^4 - b^4$;

к) $c^8 - d^8$;

л) $a^4 - 16$;

м) $81 - b^4$.

а) Для разложения на множители выражения $x^4 - 9$ используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим $x^4$ как $(x^2)^2$ и $9$ как $3^2$. Таким образом, $x^4 - 9 = (x^2)^2 - 3^2 = (x^2 - 3)(x^2 + 3)$.
Ответ: $(x^2 - 3)(x^2 + 3)$.

б) Для выражения $25 - n^6$ применим ту же формулу. Представим $25$ как $5^2$ и $n^6$ как $(n^3)^2$. Получаем: $25 - n^6 = 5^2 - (n^3)^2 = (5 - n^3)(5 + n^3)$.
Ответ: $(5 - n^3)(5 + n^3)$.

в) Для выражения $m^8 - a^2$ применим формулу разности квадратов, представив $m^8$ как $(m^4)^2$. Получаем: $m^8 - a^2 = (m^4)^2 - a^2 = (m^4 - a)(m^4 + a)$.
Ответ: $(m^4 - a)(m^4 + a)$.

г) Для выражения $y^2 - p^4$ применим формулу разности квадратов, представив $p^4$ как $(p^2)^2$. Получаем: $y^2 - p^4 = y^2 - (p^2)^2 = (y - p^2)(y + p^2)$.
Ответ: $(y - p^2)(y + p^2)$.

д) Выражение $c^6 - d^6$ сначала раскладываем как разность квадратов: $c^6 - d^6 = (c^3)^2 - (d^3)^2 = (c^3 - d^3)(c^3 + d^3)$. Затем применяем формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Получаем: $(c^3 - d^3) = (c - d)(c^2 + cd + d^2)$ и $(c^3 + d^3) = (c + d)(c^2 - cd + d^2)$. Итоговое разложение: $(c - d)(c + d)(c^2 + cd + d^2)(c^2 - cd + d^2)$.
Ответ: $(c - d)(c + d)(c^2 + cd + d^2)(c^2 - cd + d^2)$.

е) Для выражения $x^6 - a^4$ применим формулу разности квадратов, представив $x^6$ как $(x^3)^2$ и $a^4$ как $(a^2)^2$. Получаем: $x^6 - a^4 = (x^3)^2 - (a^2)^2 = (x^3 - a^2)(x^3 + a^2)$.
Ответ: $(x^3 - a^2)(x^3 + a^2)$.

ж) Для выражения $b^4 - y^{10}$ применим формулу разности квадратов. Представим $b^4$ как $(b^2)^2$ и $y^{10}$ как $(y^5)^2$. Получаем: $b^4 - y^{10} = (b^2)^2 - (y^5)^2 = (b^2 - y^5)(b^2 + y^5)$.
Ответ: $(b^2 - y^5)(b^2 + y^5)$.

з) Для выражения $m^8 - n^6$ применим формулу разности квадратов. Представим $m^8$ как $(m^4)^2$ и $n^6$ как $(n^3)^2$. Получаем: $m^8 - n^6 = (m^4)^2 - (n^3)^2 = (m^4 - n^3)(m^4 + n^3)$.
Ответ: $(m^4 - n^3)(m^4 + n^3)$.

и) Выражение $a^4 - b^4$ раскладывается по формуле разности квадратов дважды. Сначала $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. Затем раскладываем множитель $(a^2 - b^2)$: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Итоговое разложение: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.

к) Выражение $c^8 - d^8$ раскладывается по формуле разности квадратов последовательно: $c^8 - d^8 = (c^4)^2 - (d^4)^2 = (c^4 - d^4)(c^4 + d^4)$. Далее $c^4 - d^4 = (c^2)^2 - (d^2)^2 = (c^2 - d^2)(c^2 + d^2)$. И наконец $c^2 - d^2 = (c - d)(c + d)$. Собираем все вместе: $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)(c^4 + d^4)$.
Ответ: $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)(c^4 + d^4)$.

л) Выражение $a^4 - 16$ раскладывается по формуле разности квадратов дважды. Сначала $a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2 = (a^2 - 4)(a^2 + 4)$. Затем раскладываем множитель $(a^2 - 4)$: $a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$. Итоговое разложение: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.

м) Выражение $81 - b^4$ раскладывается по формуле разности квадратов дважды. Сначала $81 - b^4 = 9^2 - (b^2)^2 = (9 - b^2)(9 + b^2)$. Затем раскладываем множитель $(9 - b^2)$: $9 - b^2 = 3^2 - b^2 = (3 - b)(3 + b)$. Итоговое разложение: $(3 - b)(3 + b)(9 + b^2)$.
Ответ: $(3 - b)(3 + b)(9 + b^2)$.

892. Представьте в виде произведения:

а) $c^6 - 9x^4$;

б) $100y^2 - a^8$;

в) $4x^4 - 25b^2$;

г) $a^4b^4 - 1$;

д) $0,36 - x^4y^4$;

е) $4a^2 - b^6c^2$;

ж) $16m^2y^2 - 9n^4$;

з) $9x^8y^4 - 100z^2$;

и) $0,81p^6m^4 - 0,01x^2$.

а) Для того чтобы представить выражение $c^6 - 9x^4$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим каждое слагаемое в виде квадрата: $c^6 = (c^3)^2$ и $9x^4 = (3x^2)^2$. Таким образом, получаем: $c^6 - 9x^4 = (c^3)^2 - (3x^2)^2 = (c^3 - 3x^2)(c^3 + 3x^2)$. Ответ: $(c^3 - 3x^2)(c^3 + 3x^2)$.

б) Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ к выражению $100y^2 - a^8$. Представим $100y^2$ как $(10y)^2$ и $a^8$ как $(a^4)^2$. Тогда: $100y^2 - a^8 = (10y)^2 - (a^4)^2 = (10y - a^4)(10y + a^4)$. Ответ: $(10y - a^4)(10y + a^4)$.

в) Выражение $4x^4 - 25b^2$ является разностью квадратов. Представим $4x^4$ как $(2x^2)^2$ и $25b^2$ как $(5b)^2$. Используя формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, получаем: $4x^4 - 25b^2 = (2x^2)^2 - (5b)^2 = (2x^2 - 5b)(2x^2 + 5b)$. Ответ: $(2x^2 - 5b)(2x^2 + 5b)$.

г) Выражение $a^4b^4 - 1$ раскладывается по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Здесь $A^2 = a^4b^4 = (a^2b^2)^2$ и $B^2 = 1 = 1^2$. Получаем: $a^4b^4 - 1 = (a^2b^2 - 1)(a^2b^2 + 1)$. Заметим, что первый множитель $(a^2b^2 - 1)$ также является разностью квадратов: $(ab)^2 - 1^2$. Разложим его дальше: $a^2b^2 - 1 = (ab - 1)(ab + 1)$. Итоговое разложение: $(ab - 1)(ab + 1)(a^2b^2 + 1)$. Ответ: $(ab - 1)(ab + 1)(a^2b^2 + 1)$.

д) Для разложения выражения $0,36 - x^4y^4$ на множители используем формулу разности квадратов. Представим $0,36$ как $(0,6)^2$ и $x^4y^4$ как $(x^2y^2)^2$. Таким образом: $0,36 - x^4y^4 = (0,6)^2 - (x^2y^2)^2 = (0,6 - x^2y^2)(0,6 + x^2y^2)$. Ответ: $(0,6 - x^2y^2)(0,6 + x^2y^2)$.

е) Чтобы представить выражение $4a^2 - b^6c^2$ в виде произведения, применим формулу разности квадратов. Представим $4a^2$ как $(2a)^2$ и $b^6c^2$ как $(b^3c)^2$. Получаем: $4a^2 - b^6c^2 = (2a)^2 - (b^3c)^2 = (2a - b^3c)(2a + b^3c)$. Ответ: $(2a - b^3c)(2a + b^3c)$.

ж) Выражение $16m^2y^2 - 9n^4$ является разностью квадратов. Представим $16m^2y^2$ как $(4my)^2$ и $9n^4$ как $(3n^2)^2$. Используя формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, получаем: $16m^2y^2 - 9n^4 = (4my)^2 - (3n^2)^2 = (4my - 3n^2)(4my + 3n^2)$. Ответ: $(4my - 3n^2)(4my + 3n^2)$.

з) Для разложения выражения $9x^8y^4 - 100z^2$ на множители представим его в виде разности квадратов. $9x^8y^4 = (3x^4y^2)^2$ и $100z^2 = (10z)^2$. Применяя формулу, имеем: $9x^8y^4 - 100z^2 = (3x^4y^2)^2 - (10z)^2 = (3x^4y^2 - 10z)(3x^4y^2 + 10z)$. Ответ: $(3x^4y^2 - 10z)(3x^4y^2 + 10z)$.

и) Чтобы представить выражение $0,81p^6m^4 - 0,01x^2$ в виде произведения, используем формулу разности квадратов. Представим $0,81p^6m^4$ как $(0,9p^3m^2)^2$ и $0,01x^2$ как $(0,1x)^2$. Тогда: $0,81p^6m^4 - 0,01x^2 = (0,9p^3m^2)^2 - (0,1x)^2 = (0,9p^3m^2 - 0,1x)(0,9p^3m^2 + 0,1x)$. Ответ: $(0,9p^3m^2 - 0,1x)(0,9p^3m^2 + 0,1x)$.

884. Разложите на множители:

а) $25x^2 - y^2$;

б) $-m^2 + 16n^2$;

в) $36a^2 - 49$;

г) $64 - 25x^2$;

д) $9m^2 - 16n^2$;

е) $64p^2 - 81q^2$;

ж) $-49a^2 + 16b^2$;

з) $0.01n^2 - 4m^2$;

и) $9 - b^2c^2$;

к) $4a^2b^2 - 1$;

л) $p^2 - a^2b^2$;

м) $16c^2d^2 - 9a^2$.

Для разложения на множители выражения $25x^2 - y^2$ используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном выражении уменьшаемое $25x^2$ можно представить как $(5x)^2$, а вычитаемое $y^2$ как $(y)^2$.
Таким образом, $A = 5x$ и $B = y$.
Подставляем эти значения в формулу:
$25x^2 - y^2 = (5x)^2 - y^2 = (5x - y)(5x + y)$.
Ответ: $(5x - y)(5x + y)$.

Чтобы разложить на множители выражение $-m^2 + 16n^2$, поменяем слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид разности квадратов: $16n^2 - m^2$.
Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим уменьшаемое $16n^2$ как $(4n)^2$, а вычитаемое $m^2$ как $(m)^2$.
Здесь $A = 4n$ и $B = m$.
Подставляем в формулу:
$16n^2 - m^2 = (4n)^2 - m^2 = (4n - m)(4n + m)$.
Ответ: $(4n - m)(4n + m)$.

Для разложения на множители выражения $36a^2 - 49$ применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $36a^2$ как $(6a)^2$ и $49$ как $7^2$.
В этом случае $A = 6a$ и $B = 7$.
Подставляем в формулу:
$36a^2 - 49 = (6a)^2 - 7^2 = (6a - 7)(6a + 7)$.
Ответ: $(6a - 7)(6a + 7)$.

Разложим на множители выражение $64 - 25x^2$ по формуле разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $64$ как $8^2$ и $25x^2$ как $(5x)^2$.
Получаем $A = 8$ и $B = 5x$.
Подставляем в формулу:
$64 - 25x^2 = 8^2 - (5x)^2 = (8 - 5x)(8 + 5x)$.
Ответ: $(8 - 5x)(8 + 5x)$.

Для разложения на множители выражения $9m^2 - 16n^2$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $9m^2$ как $(3m)^2$ и $16n^2$ как $(4n)^2$.
Здесь $A = 3m$ и $B = 4n$.
Подставляем в формулу:
$9m^2 - 16n^2 = (3m)^2 - (4n)^2 = (3m - 4n)(3m + 4n)$.
Ответ: $(3m - 4n)(3m + 4n)$.

Разложим на множители выражение $64p^2 - 81q^2$ по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $64p^2$ как $(8p)^2$ и $81q^2$ как $(9q)^2$.
В данном случае $A = 8p$ и $B = 9q$.
Подставляем в формулу:
$64p^2 - 81q^2 = (8p)^2 - (9q)^2 = (8p - 9q)(8p + 9q)$.
Ответ: $(8p - 9q)(8p + 9q)$.

Чтобы разложить на множители выражение $-49a^2 + 16b^2$, поменяем слагаемые местами: $16b^2 - 49a^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $16b^2$ как $(4b)^2$ и $49a^2$ как $(7a)^2$.
Тогда $A = 4b$ и $B = 7a$.
Подставляем в формулу:
$16b^2 - 49a^2 = (4b)^2 - (7a)^2 = (4b - 7a)(4b + 7a)$.
Ответ: $(4b - 7a)(4b + 7a)$.

Для разложения на множители выражения $0,01n^2 - 4m^2$ воспользуемся формулой $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $0,01n^2$ как $(0,1n)^2$ и $4m^2$ как $(2m)^2$.
Здесь $A = 0,1n$ и $B = 2m$.
Подставляем в формулу:
$0,01n^2 - 4m^2 = (0,1n)^2 - (2m)^2 = (0,1n - 2m)(0,1n + 2m)$.
Ответ: $(0,1n - 2m)(0,1n + 2m)$.

Разложим на множители выражение $9 - b^2c^2$ по формуле разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $9$ как $3^2$ и $b^2c^2$ как $(bc)^2$.
Здесь $A = 3$ и $B = bc$.
Подставляем в формулу:
$9 - b^2c^2 = 3^2 - (bc)^2 = (3 - bc)(3 + bc)$.
Ответ: $(3 - bc)(3 + bc)$.

Для разложения на множители выражения $4a^2b^2 - 1$ применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $4a^2b^2$ как $(2ab)^2$ и $1$ как $1^2$.
Тогда $A = 2ab$ и $B = 1$.
Подставляем в формулу:
$4a^2b^2 - 1 = (2ab)^2 - 1^2 = (2ab - 1)(2ab + 1)$.
Ответ: $(2ab - 1)(2ab + 1)$.

Разложим на множители выражение $p^2 - a^2b^2$ по формуле разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $p^2$ как $(p)^2$ и $a^2b^2$ как $(ab)^2$.
В этом случае $A = p$ и $B = ab$.
Подставляем в формулу:
$p^2 - a^2b^2 = p^2 - (ab)^2 = (p - ab)(p + ab)$.
Ответ: $(p - ab)(p + ab)$.

Для разложения на множители выражения $16c^2d^2 - 9a^2$ используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $16c^2d^2$ как $(4cd)^2$ и $9a^2$ как $(3a)^2$.
Здесь $A = 4cd$ и $B = 3a$.
Подставляем в формулу:
$16c^2d^2 - 9a^2 = (4cd)^2 - (3a)^2 = (4cd - 3a)(4cd + 3a)$.
Ответ: $(4cd - 3a)(4cd + 3a)$.

887. Найдите значение дроби:

а) $ \frac{36}{13^2 - 11^2}; $

б) $ \frac{79^2 - 65^2}{420}; $

в) $ \frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2}; $

г) $ \frac{53^2 - 32^2}{61^2 - 44^2}. $

а) Для упрощения выражения в знаменателе используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$ \frac{36}{13^2 - 11^2} = \frac{36}{(13 - 11)(13 + 11)} = \frac{36}{2 \cdot 24} = \frac{36}{48} $
Сократим дробь на 12:
$ \frac{36}{48} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{3}{4} $
Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Для упрощения выражения в числителе используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$ \frac{79^2 - 65^2}{420} = \frac{(79 - 65)(79 + 65)}{420} = \frac{14 \cdot 144}{420} $
Сократим дробь. Сначала разделим 14 и 420 на 14, что дает $\frac{144}{30}$. Затем разделим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{144}{30} = \frac{144 \div 6}{30 \div 6} = \frac{24}{5} $
Ответ: $\frac{24}{5}$.

в) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и для числителя, и для знаменателя.
Числитель: $53^2 - 27^2 = (53 - 27)(53 + 27) = 26 \cdot 80$.
Знаменатель: $79^2 - 51^2 = (79 - 51)(79 + 51) = 28 \cdot 130$.
Получаем дробь:
$ \frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130} $
Сокращаем множители:
$ \frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130} = \frac{(2 \cdot 13) \cdot 80}{(4 \cdot 7) \cdot 130} = \frac{2 \cdot 13 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 10} $
Сокращаем 13, 10 и 4 (2*2), получаем:
$ \frac{2 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7} $
Ответ: $\frac{4}{7}$.

г) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и для числителя, и для знаменателя.
Числитель: $53^2 - 32^2 = (53 - 32)(53 + 32) = 21 \cdot 85$.
Знаменатель: $61^2 - 44^2 = (61 - 44)(61 + 44) = 17 \cdot 105$.
Получаем дробь:
$ \frac{21 \cdot 85}{17 \cdot 105} $
Сокращаем множители. Заметим, что $85 = 5 \cdot 17$ и $105 = 5 \cdot 21$:
$ \frac{21 \cdot (5 \cdot 17)}{17 \cdot (5 \cdot 21)} $
Все множители в числителе и знаменателе сокращаются:
$ \frac{21 \cdot 5 \cdot 17}{17 \cdot 5 \cdot 21} = 1 $
Ответ: 1.

890. Решите уравнение:

а) $x^2 - 16 = 0;$

б) $y^2 - 81 = 0;$

в) $\frac{1}{9} - x^2 = 0;$

г) $a^2 - 0,25 = 0;$

д) $b^2 + 36 = 0;$

е) $x^2 - 1 = 0;$

ж) $4x^2 - 9 = 0;$

з) $25x^2 - 16 = 0;$

и) $81x^2 + 4 = 0.$

а) $x^2 - 16 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $16$ как $4^2$:
$x^2 - 4^2 = 0$
$(x - 4)(x + 4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:
$x - 4 = 0$ или $x + 4 = 0$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Ответ: $-4; 4$.

б) $y^2 - 81 = 0$.
Применим формулу разности квадратов, представив $81$ как $9^2$:
$y^2 - 9^2 = 0$
$(y - 9)(y + 9) = 0$
$y - 9 = 0 \implies y_1 = 9$
$y + 9 = 0 \implies y_2 = -9$.
Ответ: $-9; 9$.

в) $\frac{1}{9} - x^2 = 0$.
Представим $\frac{1}{9}$ как $(\frac{1}{3})^2$ и применим формулу разности квадратов:
$(\frac{1}{3})^2 - x^2 = 0$
$(\frac{1}{3} - x)(\frac{1}{3} + x) = 0$
$\frac{1}{3} - x = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3} + x = 0 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

г) $a^2 - 0.25 = 0$.
Представим $0.25$ как $(0.5)^2$:
$a^2 - (0.5)^2 = 0$
$(a - 0.5)(a + 0.5) = 0$
$a - 0.5 = 0 \implies a_1 = 0.5$
$a + 0.5 = 0 \implies a_2 = -0.5$.
Ответ: $-0.5; 0.5$.

д) $b^2 + 36 = 0$.
Перенесем 36 в правую часть уравнения: $b^2 = -36$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($b^2 \ge 0$). Так как правая часть уравнения отрицательна ($-36 < 0$), уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: нет корней.

е) $x^2 - 1 = 0$.
Используя формулу разности квадратов, где $1 = 1^2$:
$x^2 - 1^2 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 1$.

ж) $4x^2 - 9 = 0$.
Представим левую часть как разность квадратов, заметив, что $4x^2 = (2x)^2$ и $9=3^2$:
$(2x)^2 - 3^2 = 0$
$(2x - 3)(2x + 3) = 0$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$
$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$.
Ответ: $-1.5; 1.5$.

з) $25x^2 - 16 = 0$.
Представим $25x^2$ как $(5x)^2$ и $16$ как $4^2$:
$(5x)^2 - 4^2 = 0$
$(5x - 4)(5x + 4) = 0$
$5x - 4 = 0 \implies 5x = 4 \implies x_1 = \frac{4}{5} = 0.8$
$5x + 4 = 0 \implies 5x = -4 \implies x_2 = -\frac{4}{5} = -0.8$.
Ответ: $-0.8; 0.8$.

и) $81x^2 + 4 = 0$.
Для любого действительного числа $x$, выражение $x^2$ неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $81x^2 \ge 0$. Сумма неотрицательного числа $81x^2$ и положительного числа $4$ всегда будет строго положительной ($81x^2 + 4 \ge 4 > 0$). Таким образом, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

885. Представьте в виде произведения:

а) $x^2 - 64$;

б) $0,16 - c^2$;

в) $121 - m^2$;

г) $-81 + 25y^2$;

д) $144b^2 - c^2$;

е) $0,64x^2 - 0,49y^2$;

ж) $x^2y^2 - 0,25$;

з) $c^2d^2 - a^2$;

и) $a^2x^2 - 4y^2$.

Для решения всех пунктов данной задачи используется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Представим выражение $x^2 - 64$ в виде разности квадратов. Здесь $a^2 = x^2$, следовательно, $a = x$. Второй член $64 = 8^2$, следовательно, $b = 8$. Применяя формулу, получаем: $x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8)$.
Ответ: $(x - 8)(x + 8)$.

б) Рассмотрим выражение $0,16 - c^2$. Здесь $a^2 = 0,16$, значит $a = \sqrt{0,16} = 0,4$. Второй член $c^2$, значит $b = c$. Подставляем в формулу: $0,16 - c^2 = (0,4)^2 - c^2 = (0,4 - c)(0,4 + c)$.
Ответ: $(0,4 - c)(0,4 + c)$.

в) Для выражения $121 - m^2$. Здесь $a^2 = 121$, откуда $a = \sqrt{121} = 11$. Второй член $m^2$, откуда $b = m$. Применяем формулу: $121 - m^2 = 11^2 - m^2 = (11 - m)(11 + m)$.
Ответ: $(11 - m)(11 + m)$.

г) Перепишем выражение $-81 + 25y^2$ в более удобном виде: $25y^2 - 81$. Здесь $a^2 = 25y^2$, следовательно, $a = \sqrt{25y^2} = 5y$. Второй член $81 = 9^2$, следовательно, $b = 9$. Используем формулу: $25y^2 - 81 = (5y)^2 - 9^2 = (5y - 9)(5y + 9)$.
Ответ: $(5y - 9)(5y + 9)$.

д) Рассмотрим выражение $144b^2 - c^2$. Здесь $a^2 = 144b^2$, откуда $a = \sqrt{144b^2} = 12b$. Второй член $c^2$, откуда $b = c$. Подставляем в формулу: $144b^2 - c^2 = (12b)^2 - c^2 = (12b - c)(12b + c)$.
Ответ: $(12b - c)(12b + c)$.

е) Для выражения $0,64x^2 - 0,49y^2$. Первый член $a^2 = 0,64x^2$, значит $a = \sqrt{0,64x^2} = 0,8x$. Второй член $b^2 = 0,49y^2$, значит $b = \sqrt{0,49y^2} = 0,7y$. Применяем формулу: $0,64x^2 - 0,49y^2 = (0,8x)^2 - (0,7y)^2 = (0,8x - 0,7y)(0,8x + 0,7y)$.
Ответ: $(0,8x - 0,7y)(0,8x + 0,7y)$.

ж) Рассмотрим выражение $x^2y^2 - 0,25$. Здесь $a^2 = x^2y^2 = (xy)^2$, следовательно, $a = xy$. Второй член $0,25 = (0,5)^2$, следовательно, $b = 0,5$. Подставляем в формулу: $x^2y^2 - 0,25 = (xy)^2 - (0,5)^2 = (xy - 0,5)(xy + 0,5)$.
Ответ: $(xy - 0,5)(xy + 0,5)$.

з) Для выражения $c^2d^2 - a^2$. Первый член $X^2 = c^2d^2 = (cd)^2$, значит $X = cd$. Второй член $Y^2 = a^2$, значит $Y = a$. Используем формулу: $c^2d^2 - a^2 = (cd)^2 - a^2 = (cd - a)(cd + a)$.
Ответ: $(cd - a)(cd + a)$.

и) Рассмотрим выражение $a^2x^2 - 4y^2$. Здесь $X^2 = a^2x^2 = (ax)^2$, откуда $X = ax$. Второй член $Y^2 = 4y^2 = (2y)^2$, откуда $Y = 2y$. Применяем формулу: $a^2x^2 - 4y^2 = (ax)^2 - (2y)^2 = (ax - 2y)(ax + 2y)$.
Ответ: $(ax - 2y)(ax + 2y)$.

888. Найдите значение выражения:

а) $41^2 - 31^2;$

б) $76^2 - 24^2;$

в) $256^2 - 156^2;$

г) $0,783^2 - 0,217^2;$

д) $\frac{26^2 - 12^2}{54^2 - 16^2};$

е) $\frac{63^2 - 27^2}{83^2 - 79^2};$

а) Для нахождения значения выражения $41^2 - 31^2$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим значения $a=41$ и $b=31$:

$41^2 - 31^2 = (41 - 31)(41 + 31) = 10 \cdot 72 = 720$.

Ответ: 720

б) Для выражения $76^2 - 24^2$ также применим формулу разности квадратов.

Подставим значения $a=76$ и $b=24$:

$76^2 - 24^2 = (76 - 24)(76 + 24) = 52 \cdot 100 = 5200$.

Ответ: 5200

в) Для выражения $256^2 - 156^2$ используем ту же формулу.

Подставим значения $a=256$ и $b=156$:

$256^2 - 156^2 = (256 - 156)(256 + 156) = 100 \cdot 412 = 41200$.

Ответ: 41200

г) Для выражения $0,783^2 - 0,217^2$ применяем формулу разности квадратов.

Подставим значения $a=0,783$ и $b=0,217$:

$0,783^2 - 0,217^2 = (0,783 - 0,217)(0,783 + 0,217) = 0,566 \cdot 1 = 0,566$.

Ответ: 0,566

д) Для нахождения значения дроби $\frac{26^2 - 12^2}{54^2 - 16^2}$ применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю.

Числитель: $26^2 - 12^2 = (26 - 12)(26 + 12) = 14 \cdot 38$.

Знаменатель: $54^2 - 16^2 = (54 - 16)(54 + 16) = 38 \cdot 70$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{14 \cdot 38}{38 \cdot 70} = \frac{14}{70} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: 0,2

е) Для нахождения значения дроби $\frac{63^2 - 27^2}{83^2 - 79^2}$ также применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю.

Числитель: $63^2 - 27^2 = (63 - 27)(63 + 27) = 36 \cdot 90$.

Знаменатель: $83^2 - 79^2 = (83 - 79)(83 + 79) = 4 \cdot 162$.

Подставим полученные выражения в дробь и упростим:

$\frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{9 \cdot 90}{162}$.

Так как $162 = 18 \cdot 9$, то:

$\frac{9 \cdot 90}{18 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5$.

Ответ: 5

891. Решите уравнение:

а) $m^2 - 25 = 0;$

б) $x^2 - 36 = 0;$

в) $9x^2 - 4 = 0;$

г) $16x^2 - 49 = 0.$

а) $m^2 - 25 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения можно воспользоваться формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим число $25$ как $5^2$, чтобы привести уравнение к виду $m^2 - 5^2 = 0$.
Разложим левую часть на множители:
$(m - 5)(m + 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения:
$m - 5 = 0 \implies m_1 = 5$
$m + 5 = 0 \implies m_2 = -5$
Ответ: $\pm 5$.

б) $x^2 - 36 = 0$
Это также неполное квадратное уравнение. Решим его другим способом: перенесем свободный член (число без переменной) в правую часть уравнения.
$x^2 = 36$
Теперь, чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{36}$
$x = \pm 6$
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Ответ: $\pm 6$.

в) $9x^2 - 4 = 0$
Это уравнение также удобно решать с помощью формулы разности квадратов. Для этого представим $9x^2$ как $(3x)^2$ и $4$ как $2^2$.
$(3x)^2 - 2^2 = 0$
Разложим левую часть на множители:
$(3x - 2)(3x + 2) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$3x - 2 = 0$ или $3x + 2 = 0$
Решим каждое из этих линейных уравнений:
1) $3x = 2 \implies x_1 = \frac{2}{3}$
2) $3x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{3}$
Ответ: $\pm \frac{2}{3}$.

г) $16x^2 - 49 = 0$
Решим это уравнение методом переноса свободного члена и последующего извлечения корня.
Перенесем $-49$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$16x^2 = 49$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $16$:
$x^2 = \frac{49}{16}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{49}{16}}$
Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, получаем:
$x = \pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}$
$x = \pm\frac{7}{4}$
Ответ: $\pm \frac{7}{4}$.