Страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

865. Найдите наибольшее значение выражения:

а) $(7 - 6x)(7 + 6x);$

б) $(4 - \frac{1}{3} b)(\frac{1}{3} b + 4);$

в) $(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y);$

г) $(4a + 1\frac{1}{7})(1\frac{1}{7} - 4a).$

а) Чтобы найти наибольшее значение выражения $(7 - 6x)(7 + 6x)$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Применив эту формулу, получим:
$(7 - 6x)(7 + 6x) = 7^2 - (6x)^2 = 49 - 36x^2$.
Полученное выражение $49 - 36x^2$ представляет собой квадратичную функцию. Значение этой функции максимально, когда вычитаемое $36x^2$ минимально.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $x^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение выражения $36x^2$ равно $0$ и достигается при $x = 0$.
Таким образом, наибольшее значение исходного выражения равно $49 - 36 \cdot 0^2 = 49$.
Ответ: $49$.

б) Преобразуем выражение $(4 - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{3}b + 4)$, поменяв слагаемые во второй скобке местами, чтобы оно соответствовало формуле разности квадратов: $(4 - \frac{1}{3}b)(4 + \frac{1}{3}b)$.
Применим формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$(4 - \frac{1}{3}b)(4 + \frac{1}{3}b) = 4^2 - (\frac{1}{3}b)^2 = 16 - \frac{1}{9}b^2$.
Чтобы найти наибольшее значение выражения $16 - \frac{1}{9}b^2$, нужно минимизировать вычитаемое $\frac{1}{9}b^2$.
Так как $b^2 \ge 0$, наименьшее значение $\frac{1}{9}b^2$ равно $0$ и достигается при $b = 0$.
Следовательно, наибольшее значение выражения равно $16 - \frac{1}{9} \cdot 0^2 = 16$.
Ответ: $16$.

в) Выражение $(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y)$ уже имеет вид, подходящий для применения формулы разности квадратов.
$(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y) = (\frac{1}{3})^2 - (2y)^2 = \frac{1}{9} - 4y^2$.
Выражение $\frac{1}{9} - 4y^2$ достигает своего наибольшего значения, когда вычитаемое $4y^2$ минимально.
Поскольку $y^2 \ge 0$, минимальное значение $4y^2$ равно $0$ и достигается при $y = 0$.
Таким образом, наибольшее значение выражения равно $\frac{1}{9} - 4 \cdot 0^2 = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

г) Рассмотрим выражение $(4a + 1\frac{1}{7})(1\frac{1}{7} - 4a)$. Сначала представим смешанное число $1\frac{1}{7}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.
Выражение примет вид $(4a + \frac{8}{7})(\frac{8}{7} - 4a)$. Поменяем слагаемые в первой скобке: $(\frac{8}{7} + 4a)(\frac{8}{7} - 4a)$.
Применим формулу разности квадратов:
$(\frac{8}{7} + 4a)(\frac{8}{7} - 4a) = (\frac{8}{7})^2 - (4a)^2 = \frac{64}{49} - 16a^2$.
Наибольшее значение выражения $\frac{64}{49} - 16a^2$ достигается при минимальном значении вычитаемого $16a^2$.
Минимальное значение $16a^2$ равно $0$ и достигается при $a = 0$.
Следовательно, наибольшее значение выражения равно $\frac{64}{49} - 16 \cdot 0^2 = \frac{64}{49}$.
Ответ: $\frac{64}{49}$.

868. Представьте выражение в виде многочлена:

а) $(b + a)(b - a)^2$;

б) $(x + y)^2(y - x)$;

в) $(a - 4)(a + 4)^2$;

г) $(3p + 1)^2(1 - 3p)$.

а) Для преобразования выражения $(b + a)(b - a)^2$ в многочлен, воспользуемся формулами сокращенного умножения.

Представим $(b - a)^2$ как произведение двух скобок: $(b - a)(b - a)$.

Тогда исходное выражение примет вид: $(b + a)(b - a)(b - a)$.

Сначала перемножим первые две скобки $(b + a)(b - a)$, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$:

$(b + a)(b - a) = b^2 - a^2$.

Теперь наше выражение выглядит так: $(b^2 - a^2)(b - a)$.

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(b^2 - a^2)(b - a) = b^2 \cdot b + b^2 \cdot (-a) - a^2 \cdot b - a^2 \cdot (-a) = b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$.

Ответ: $b^3 - ab^2 - a^2b + a^3$

б) Преобразуем выражение $(x + y)^2(y - x)$.

Запишем $(x+y)^2$ как $(x+y)(x+y)$.

Выражение примет вид: $(x + y)(x + y)(y - x)$.

Заметим, что $(x+y)$ и $(y-x)$ можно перегруппировать. Поскольку $(x+y) = (y+x)$, мы можем применить формулу разности квадратов к произведению $(y+x)(y-x)$:

$(y + x)(y - x) = y^2 - x^2$.

Теперь исходное выражение можно записать как: $(x + y)(y^2 - x^2)$.

Раскроем скобки:

$(x + y)(y^2 - x^2) = x \cdot y^2 + x \cdot (-x^2) + y \cdot y^2 + y \cdot (-x^2) = xy^2 - x^3 + y^3 - x^2y$.

Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены:

$y^3 - x^3 - x^2y + xy^2$.

Ответ: $y^3 - x^3 - x^2y + xy^2$

в) Преобразуем выражение $(a - 4)(a + 4)^2$.

Представим $(a + 4)^2$ как $(a + 4)(a + 4)$.

Выражение примет вид: $(a - 4)(a + 4)(a + 4)$.

Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям:

$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$.

Теперь выражение выглядит так: $(a^2 - 16)(a + 4)$.

Раскроем скобки:

$(a^2 - 16)(a + 4) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 4 - 16 \cdot a - 16 \cdot 4 = a^3 + 4a^2 - 16a - 64$.

Ответ: $a^3 + 4a^2 - 16a - 64$

г) Преобразуем выражение $(3p + 1)^2(1 - 3p)$.

Заметим, что $(1 - 3p) = -(3p - 1)$. Вынесем минус за скобки:

$(3p + 1)^2(1 - 3p) = -(3p + 1)^2(3p - 1)$.

Представим $(3p + 1)^2$ как $(3p + 1)(3p + 1)$:

$-(3p + 1)(3p + 1)(3p - 1)$.

Применим формулу разности квадратов к произведению $(3p + 1)(3p - 1)$:

$(3p + 1)(3p - 1) = (3p)^2 - 1^2 = 9p^2 - 1$.

Теперь выражение выглядит так: $-(3p + 1)(9p^2 - 1)$.

Сначала раскроем скобки, а затем учтем знак минуса:

$(3p + 1)(9p^2 - 1) = 3p \cdot 9p^2 + 3p \cdot (-1) + 1 \cdot 9p^2 + 1 \cdot (-1) = 27p^3 - 3p + 9p^2 - 1$.

Упорядочим члены: $27p^3 + 9p^2 - 3p - 1$.

Теперь применим знак минус ко всему выражению:

$-(27p^3 + 9p^2 - 3p - 1) = -27p^3 - 9p^2 + 3p + 1$.

Ответ: $-27p^3 - 9p^2 + 3p + 1$

871. Упростите:

а) $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$;

б) $(2a + b)(4a^2 + b^2)(2a - b)$;

в) $(c^3 + b)(c^3 - b)(c^6 + b^2);$

г) $(3m - 2)(3m + 2) + 4;$

д) $25n^2 - (7 + 5n)(7 - 5n);$

е) $6x^2 - (x - 0,5)(x + 0,5).$

а) В выражении $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$ мы дважды применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Сначала применим её к первым двум множителям: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Теперь выражение принимает вид: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.
Снова используем формулу разности квадратов, где в роли $a$ выступает $x^2$, а в роли $b$ — $y^2$:
$(x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.
Ответ: $x^4 - y^4$

б) В выражении $(2a + b)(4a^2 + b^2)(2a - b)$ для удобства поменяем местами второй и третий множители: $(2a + b)(2a - b)(4a^2 + b^2)$.
Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(2a + b)(2a - b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Получим выражение: $(4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)$.
Еще раз применим формулу разности квадратов: $(4a^2)^2 - (b^2)^2 = 16a^4 - b^4$.
Ответ: $16a^4 - b^4$

в) Упростим выражение $(c^3 + b)(c^3 - b)(c^6 + b^2)$.
Сначала раскроем первые две скобки по формуле разности квадратов: $(c^3 + b)(c^3 - b) = (c^3)^2 - b^2 = c^6 - b^2$.
Теперь выражение выглядит так: $(c^6 - b^2)(c^6 + b^2)$.
Снова применяем ту же формулу: $(c^6)^2 - (b^2)^2 = c^{12} - b^4$.
Ответ: $c^{12} - b^4$

г) В выражении $(3m - 2)(3m + 2) + 4$ сначала упростим произведение скобок, используя формулу разности квадратов.
$(3m - 2)(3m + 2) = (3m)^2 - 2^2 = 9m^2 - 4$.
Подставим результат в исходное выражение: $(9m^2 - 4) + 4$.
Сложим числа: $9m^2 - 4 + 4 = 9m^2$.
Ответ: $9m^2$

д) В выражении $25n^2 - (7 + 5n)(7 - 5n)$ сначала раскроем скобки, применив формулу разности квадратов. Обратите внимание, что можно поменять слагаемые в первой скобке, но результат будет тот же: $(7 + 5n)(7 - 5n) = 7^2 - (5n)^2 = 49 - 25n^2$.
Подставим полученное выражение в исходное: $25n^2 - (49 - 25n^2)$.
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные: $25n^2 - 49 + 25n^2$.
Приведем подобные слагаемые: $25n^2 + 25n^2 - 49 = 50n^2 - 49$.
Ответ: $50n^2 - 49$

е) Упростим выражение $6x^2 - (x - 0,5)(x + 0,5)$.
Для произведения в скобках применим формулу разности квадратов: $(x - 0,5)(x + 0,5) = x^2 - (0,5)^2 = x^2 - 0,25$.
Подставим результат в исходное выражение: $6x^2 - (x^2 - 0,25)$.
Раскроем скобки: $6x^2 - x^2 + 0,25$.
Приведем подобные слагаемые: $5x^2 + 0,25$.
Ответ: $5x^2 + 0,25$

866. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует:

а) $(5a - 0,2)(0,2 + 5a)$;

б) $(12 - 7y)(7y + 12)$;

в) $(13a - 0,3)(0,3 + 13a)$;

г) $(10 - 9m)(9m + 10)$.

а) Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение выражения $(5a - 0,2)(0,2 + 5a)$, сначала упростим его. Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы привести выражение к виду формулы разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

$(5a - 0,2)(0,2 + 5a) = (5a - 0,2)(5a + 0,2) = (5a)^2 - (0,2)^2 = 25a^2 - 0,04$.

Теперь необходимо найти экстремумы для выражения $25a^2 - 0,04$.

Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательной величиной, то есть $a^2 \ge 0$. Соответственно, выражение $25a^2$ также всегда неотрицательно: $25a^2 \ge 0$.

Наименьшее значение, которое может принять $25a^2$, равно $0$. Это происходит, когда $a=0$. В этом случае выражение $25a^2 - 0,04$ принимает свое наименьшее значение: $25 \cdot 0^2 - 0,04 = 0 - 0,04 = -0,04$.

Поскольку $a^2$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $25a^2$ не ограничено сверху. Следовательно, у выражения $25a^2 - 0,04$ не существует наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение равно $-0,04$.

б) Упростим выражение $(12 - 7y)(7y + 12)$. Переставим слагаемые во второй скобке и применим формулу разности квадратов.

$(12 - 7y)(7y + 12) = (12 - 7y)(12 + 7y) = 12^2 - (7y)^2 = 144 - 49y^2$.

Рассмотрим полученное выражение $144 - 49y^2$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), поэтому вычитаемое $49y^2$ также всегда неотрицательно ($49y^2 \ge 0$).

Чтобы значение разности $144 - 49y^2$ было наибольшим, нужно из $144$ вычесть наименьшее возможное значение, которым является $0$. Это достигается при $y=0$.

Наибольшее значение выражения: $144 - 49 \cdot 0^2 = 144 - 0 = 144$.

Так как $y^2$ может быть сколь угодно большим, вычитаемое $49y^2$ также может быть сколь угодно большим. Это означает, что разность $144 - 49y^2$ может принимать сколь угодно малые (большие по модулю отрицательные) значения. Следовательно, наименьшего значения у выражения не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $144$.

в) Упростим выражение $(13a - 0,3)(0,3 + 13a)$, используя формулу разности квадратов. Для этого переставим слагаемые во второй скобке: $(13a - 0,3)(13a + 0,3)$.

$(13a - 0,3)(13a + 0,3) = (13a)^2 - (0,3)^2 = 169a^2 - 0,09$.

Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$). Значит, наименьшее значение слагаемого $169a^2$ равно $0$ и достигается при $a=0$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $169a^2 - 0,09$ равно: $169 \cdot 0^2 - 0,09 = -0,09$.

Так как $a^2$ может быть сколь угодно большим, выражение не имеет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение равно $-0,09$.

г) Упростим выражение $(10 - 9m)(9m + 10)$ по формуле разности квадратов. Переставим слагаемые во второй скобке: $(10 - 9m)(10 + 9m)$.

$(10 - 9m)(10 + 9m) = 10^2 - (9m)^2 = 100 - 81m^2$.

Рассмотрим выражение $100 - 81m^2$. Вычитаемое $81m^2$ всегда неотрицательно, так как $m^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $m=0$.

Чтобы разность была максимальной, вычитаемое должно быть минимальным. Таким образом, наибольшее значение выражения достигается при $m=0$: $100 - 81 \cdot 0^2 = 100$.

Наименьшего значения не существует, так как $81m^2$ может быть сколь угодно большим, а значит, значение всего выражения может быть сколь угодно малым (большим по модулю отрицательным числом).

Ответ: наибольшее значение равно $100$.

869. Выполните умножение:

а) $(b - 2)(b + 2)(b^2 + 4);$

б) $(3 - y)(3 + y)(9 + y^2);$

в) $(a^2 + 1)(a + 1)(a - 1);$

г) $(c^4 + 1)(c^2 + 1)(c^2 - 1);$

д) $(x - 3)^2(x + 3)^2;$

е) $(y + 4)^2(y - 4)^2;$

ж) $(a - 5)^2(5 + a)^2;$

з) $(c + 4)^2(4 - c)^2.$

а) $(b - 2)(b + 2)(b^2 + 4)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Сначала умножим первые две скобки:

$(b - 2)(b + 2) = b^2 - 2^2 = b^2 - 4$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(b^2 - 4)(b^2 + 4)$

Мы снова получили выражение, к которому можно применить формулу разности квадратов:

$(b^2 - 4)(b^2 + 4) = (b^2)^2 - 4^2 = b^4 - 16$

Ответ: $b^4 - 16$

б) $(3 - y)(3 + y)(9 + y^2)$

Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям:

$(3 - y)(3 + y) = 3^2 - y^2 = 9 - y^2$

Теперь выражение выглядит так:

$(9 - y^2)(9 + y^2)$

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(9 - y^2)(9 + y^2) = 9^2 - (y^2)^2 = 81 - y^4$

Ответ: $81 - y^4$

в) $(a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)$

Удобнее сначала перемножить последние две скобки, используя формулу разности квадратов:

$(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$(a^2 + 1)(a^2 - 1)$

Еще раз применим формулу разности квадратов:

$(a^2 + 1)(a^2 - 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$

Ответ: $a^4 - 1$

г) $(c^4 + 1)(c^2 + 1)(c^2 - 1)$

Сначала перемножим последние два множителя по формуле разности квадратов:

$(c^2 + 1)(c^2 - 1) = (c^2)^2 - 1^2 = c^4 - 1$

Теперь выражение принимает вид:

$(c^4 + 1)(c^4 - 1)$

И вновь используем ту же формулу:

$(c^4 + 1)(c^4 - 1) = (c^4)^2 - 1^2 = c^8 - 1$

Ответ: $c^8 - 1$

д) $(x - 3)^2(x + 3)^2$

Воспользуемся свойством степени: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$(x - 3)^2(x + 3)^2 = ((x - 3)(x + 3))^2$

Внутри скобок применим формулу разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

Теперь нужно возвести полученное выражение в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$

Ответ: $x^4 - 18x^2 + 81$

е) $(y + 4)^2(y - 4)^2$

Используем свойство степени $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(y + 4)^2(y - 4)^2 = ((y + 4)(y - 4))^2$

Внутри скобок применяем формулу разности квадратов:

$(y + 4)(y - 4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16$

Возводим результат в квадрат по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(y^2 - 16)^2 = (y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 16 + 16^2 = y^4 - 32y^2 + 256$

Ответ: $y^4 - 32y^2 + 256$

ж) $(a - 5)^2(5 + a)^2$

Переставим слагаемые во второй скобке: $(5 + a) = (a + 5)$. Выражение примет вид:

$(a - 5)^2(a + 5)^2$

Применим свойство степени $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$((a - 5)(a + 5))^2$

Применим формулу разности квадратов для выражения в скобках:

$(a - 5)(a + 5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$

Возведем результат в квадрат по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(a^2 - 25)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 - 50a^2 + 625$

Ответ: $a^4 - 50a^2 + 625$

з) $(c + 4)^2(4 - c)^2$

Заметим, что $(4 - c)^2 = (-(c - 4))^2 = (-1)^2(c - 4)^2 = (c - 4)^2$. Тогда выражение можно переписать как:

$(c + 4)^2(c - 4)^2$

Используем свойство степени $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$((c + 4)(c - 4))^2$

Внутри скобок получаем разность квадратов:

$(c + 4)(c - 4) = c^2 - 4^2 = c^2 - 16$

Теперь возведем результат в квадрат:

$(c^2 - 16)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 16 + 16^2 = c^4 - 32c^2 + 256$

Ответ: $c^4 - 32c^2 + 256$

872. Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.

Пусть $n$ — произвольное целое число.

Тогда квадрат этого числа равен $n^2$. Предыдущим по отношению к $n$ целым числом является $(n-1)$, а последующим — $(n+1)$.

Нам необходимо доказать, что квадрат числа $n$ на единицу больше, чем произведение его предыдущего и последующего чисел. Запишем это утверждение в виде математического равенства:

$n^2 = (n-1)(n+1) + 1$

Для доказательства этого тождества преобразуем его правую часть. Выражение $(n-1)(n+1)$ является формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу, приняв $a=n$ и $b=1$:

$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

Теперь подставим полученный результат обратно в правую часть исходного равенства, которое мы доказываем:

$(n-1)(n+1) + 1 = (n^2 - 1) + 1$

Упростим полученное выражение:

$n^2 - 1 + 1 = n^2$

В результате преобразований мы получили, что правая часть равенства $ (n-1)(n+1) + 1 $ тождественно равна его левой части $ n^2 $. Поскольку данное тождество верно для любого числа $n$, оно верно и для любого целого числа.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого целого числа $n$ квадрат этого числа ($n^2$) и произведение предыдущего ($n-1$) и последующего ($n+1$) чисел связаны соотношением $n^2 = (n-1)(n+1) + 1$, так как при раскрытии скобок в правой части с использованием формулы разности квадратов получаем $(n^2 - 1) + 1 = n^2$, что тождественно равно левой части.

867. Представьте в виде многочлена:

а) $2(x - 3)(x + 3);$
б) $y(y + 4)(y - 4);$
в) $5x(x + 2)(x - 2);$
г) $-3a (a + 5)(5 - a);$
д) $(0,5x - 7)(7 + 0,5x)(-4x);$
е) $-5y(-3y - 4)(3y - 4).$

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения, а именно разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

а) $2(x - 3)(x + 3)$

Сначала применим формулу разности квадратов к произведению скобок $(x - 3)(x + 3)$. Здесь $a=x$ и $b=3$.

$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Теперь умножим полученный многочлен на 2:

$2(x^2 - 9) = 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 9 = 2x^2 - 18$.

Ответ: $2x^2 - 18$.

б) $y(y + 4)(y - 4)$

Применим формулу разности квадратов к выражению $(y + 4)(y - 4)$. Здесь $a=y$ и $b=4$.

$(y + 4)(y - 4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16$.

Теперь умножим полученный результат на $y$:

$y(y^2 - 16) = y \cdot y^2 - y \cdot 16 = y^3 - 16y$.

Ответ: $y^3 - 16y$.

в) $5x(x + 2)(x - 2)$

Используем формулу разности квадратов для произведения $(x + 2)(x - 2)$. Здесь $a=x$ и $b=2$.

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Далее умножим полученный двучлен на $5x$:

$5x(x^2 - 4) = 5x \cdot x^2 - 5x \cdot 4 = 5x^3 - 20x$.

Ответ: $5x^3 - 20x$.

г) $-3a(a + 5)(5 - a)$

Чтобы применить формулу разности квадратов, заметим, что $(a + 5)(5 - a)$ можно записать как $(5 + a)(5 - a)$. Здесь $a=5$ и $b=a$.

$(5 + a)(5 - a) = 5^2 - a^2 = 25 - a^2$.

Теперь умножим результат на $-3a$:

$-3a(25 - a^2) = (-3a) \cdot 25 - (-3a) \cdot a^2 = -75a + 3a^3$.

Представим многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $3a^3 - 75a$.

Ответ: $3a^3 - 75a$.

д) $(0,5x - 7)(7 + 0,5x)(-4x)$

Переставим слагаемые во второй скобке: $(7 + 0,5x) = (0,5x + 7)$. Теперь выражение имеет вид $(0,5x - 7)(0,5x + 7)(-4x)$.

Применим формулу разности квадратов к произведению скобок. Здесь $a=0,5x$ и $b=7$.

$(0,5x - 7)(0,5x + 7) = (0,5x)^2 - 7^2 = 0,25x^2 - 49$.

Теперь умножим полученный результат на $(-4x)$:

$(0,25x^2 - 49)(-4x) = 0,25x^2 \cdot (-4x) - 49 \cdot (-4x) = -x^3 + 196x$.

Ответ: $-x^3 + 196x$.

е) $-5y(-3y - 4)(3y - 4)$

Вынесем знак минус из первой скобки: $(-3y - 4) = -(3y + 4)$.

Выражение примет вид: $-5y \cdot (-(3y + 4)) \cdot (3y - 4)$.

Упростим, умножив $-5y$ на $-1$: $5y(3y + 4)(3y - 4)$.

Теперь применим формулу разности квадратов к $(3y + 4)(3y - 4)$. Здесь $a=3y$ и $b=4$.

$(3y + 4)(3y - 4) = (3y)^2 - 4^2 = 9y^2 - 16$.

Наконец, умножим результат на $5y$:

$5y(9y^2 - 16) = 5y \cdot 9y^2 - 5y \cdot 16 = 45y^3 - 80y$.

Ответ: $45y^3 - 80y$.

870. Упростите выражение:

а) $(0,8x + 15)(0,8x - 15) + 0,36x^2;$

б) $5b^2 + (3 - 2b)(3 + 2b);$

в) $2x^2 - (x + 1)(x - 1);$

г) $(3a - 1)(3a + 1) - 17a^2;$

д) $100x^2 - (5x - 4)(4 + 5x);$

е) $22c^2 + (-3c - 7)(3c - 7).$

а) Для упрощения выражения $(0,8x + 15)(0,8x - 15) + 0,36x^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = 0,8x$ и $b = 15$.
Применяем формулу к произведению скобок:
$(0,8x)^2 - 15^2 + 0,36x^2 = 0,64x^2 - 225 + 0,36x^2$
Теперь приведем подобные слагаемые, содержащие $x^2$:
$(0,64 + 0,36)x^2 - 225 = 1x^2 - 225 = x^2 - 225$
Ответ: $x^2 - 225$

б) Для упрощения выражения $5b^2 + (3 - 2b)(3 + 2b)$ используем ту же формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 3$ и $b = 2b$.
Применяем формулу:
$5b^2 + (3^2 - (2b)^2) = 5b^2 + (9 - 4b^2)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$5b^2 + 9 - 4b^2 = (5-4)b^2 + 9 = b^2 + 9$
Ответ: $b^2 + 9$

в) Упростим выражение $2x^2 - (x + 1)(x - 1)$. Произведение $(x + 1)(x - 1)$ также является разностью квадратов.
Здесь $a = x$ и $b = 1$.
$2x^2 - (x^2 - 1^2) = 2x^2 - (x^2 - 1)$
Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки внутри скобок меняются на противоположные:
$2x^2 - x^2 + 1 = (2 - 1)x^2 + 1 = x^2 + 1$
Ответ: $x^2 + 1$

г) Упростим выражение $(3a - 1)(3a + 1) - 17a^2$. Снова применяем формулу разности квадратов для произведения $(3a - 1)(3a + 1)$.
Здесь $a = 3a$ и $b = 1$.
$((3a)^2 - 1^2) - 17a^2 = (9a^2 - 1) - 17a^2$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$9a^2 - 1 - 17a^2 = (9 - 17)a^2 - 1 = -8a^2 - 1$
Ответ: $-8a^2 - 1$

д) Упростим выражение $100x^2 - (5x - 4)(4 + 5x)$. Для удобства применения формулы, поменяем слагаемые местами во второй скобке: $(4+5x) = (5x+4)$.
Теперь выражение имеет вид $100x^2 - (5x - 4)(5x + 4)$. Применяем формулу разности квадратов, где $a = 5x$ и $b = 4$.
$100x^2 - ((5x)^2 - 4^2) = 100x^2 - (25x^2 - 16)$
Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри:
$100x^2 - 25x^2 + 16 = (100 - 25)x^2 + 16 = 75x^2 + 16$
Ответ: $75x^2 + 16$

е) Упростим выражение $22c^2 + (-3c - 7)(3c - 7)$. Преобразуем произведение в скобках. Вынесем знак минус из первой скобки: $(-3c - 7) = -(3c + 7)$.
Получим: $22c^2 - (3c + 7)(3c - 7)$.
Теперь произведение $(3c + 7)(3c - 7)$ является разностью квадратов, где $a = 3c$ и $b = 7$.
$22c^2 - ((3c)^2 - 7^2) = 22c^2 - (9c^2 - 49)$
Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри:
$22c^2 - 9c^2 + 49 = (22 - 9)c^2 + 49 = 13c^2 + 49$
Ответ: $13c^2 + 49$

873. Упростите выражение:

а) $(x - 2)(x + 2) - x(x + 5);$

б) $m(m - 4) + (3 - m)(3 + m);$

в) $(4x - a)(4x + a) + 2x(x - a);$

г) $2a(a + b) - (2a + b)(2a - b);$

д) $(5a - 3c)(5a + 3c) - (7c - a)(7c + a);$

е) $(4b + 10c)(10c - 4b) + (-5c + 2b)(5c + 2b);$

ж) $(3x - 4y)^2 - (3x - 4y)(3x + 4y);$

з) $(2a + 6b)(6b - 2a) - (2a + 6b)^2.$

а) Для упрощения выражения $(x-2)(x+2) - x(x+5)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для первой части и распределительным законом для второй.
Применяем формулу разности квадратов к $(x-2)(x+2)$:
$(x-2)(x+2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Раскрываем скобки во второй части выражения:
$-x(x+5) = -x \cdot x - x \cdot 5 = -x^2 - 5x$.
Теперь объединим полученные результаты и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - 4) + (-x^2 - 5x) = x^2 - 4 - x^2 - 5x = (x^2 - x^2) - 5x - 4 = -5x - 4$.
Ответ: $-5x - 4$.

б) Для упрощения выражения $m(m-4) + (3-m)(3+m)$ раскроем скобки в каждом слагаемом.
Первое слагаемое: $m(m-4) = m^2 - 4m$.
Второе слагаемое является разностью квадратов: $(3-m)(3+m) = 3^2 - m^2 = 9 - m^2$.
Сложим полученные выражения:
$(m^2 - 4m) + (9 - m^2) = m^2 - 4m + 9 - m^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(m^2 - m^2) - 4m + 9 = -4m + 9$.
Ответ: $9 - 4m$.

в) Для упрощения выражения $(4x-a)(4x+a) + 2x(x-a)$ применим формулу разности квадратов и распределительный закон.
Первое слагаемое: $(4x-a)(4x+a) = (4x)^2 - a^2 = 16x^2 - a^2$.
Второе слагаемое: $2x(x-a) = 2x^2 - 2ax$.
Сложим результаты и приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 - a^2) + (2x^2 - 2ax) = 16x^2 - a^2 + 2x^2 - 2ax = (16x^2 + 2x^2) - 2ax - a^2 = 18x^2 - 2ax - a^2$.
Ответ: $18x^2 - 2ax - a^2$.

г) Для упрощения выражения $2a(a+b) - (2a+b)(2a-b)$ раскроем скобки.
Уменьшаемое: $2a(a+b) = 2a^2 + 2ab$.
Вычитаемое является разностью квадратов: $(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Выполним вычитание, раскрыв скобки:
$(2a^2 + 2ab) - (4a^2 - b^2) = 2a^2 + 2ab - 4a^2 + b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2a^2 - 4a^2) + 2ab + b^2 = -2a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ: $b^2 + 2ab - 2a^2$.

д) Для упрощения выражения $(5a-3c)(5a+3c) - (7c-a)(7c+a)$ воспользуемся формулой разности квадратов для обоих членов.
Уменьшаемое: $(5a-3c)(5a+3c) = (5a)^2 - (3c)^2 = 25a^2 - 9c^2$.
Вычитаемое: $(7c-a)(7c+a) = (7c)^2 - a^2 = 49c^2 - a^2$.
Выполним вычитание:
$(25a^2 - 9c^2) - (49c^2 - a^2) = 25a^2 - 9c^2 - 49c^2 + a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(25a^2 + a^2) + (-9c^2 - 49c^2) = 26a^2 - 58c^2$.
Ответ: $26a^2 - 58c^2$.

е) Для упрощения выражения $(4b+10c)(10c-4b) + (-5c+2b)(5c+2b)$ преобразуем множители для применения формулы разности квадратов.
Первое слагаемое: $(4b+10c)(10c-4b) = (10c+4b)(10c-4b) = (10c)^2 - (4b)^2 = 100c^2 - 16b^2$.
Второе слагаемое: $(-5c+2b)(5c+2b) = (2b-5c)(2b+5c) = (2b)^2 - (5c)^2 = 4b^2 - 25c^2$.
Сложим результаты:
$(100c^2 - 16b^2) + (4b^2 - 25c^2) = 100c^2 - 16b^2 + 4b^2 - 25c^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(100c^2 - 25c^2) + (-16b^2 + 4b^2) = 75c^2 - 12b^2$.
Ответ: $75c^2 - 12b^2$.

ж) Для упрощения выражения $(3x-4y)^2 - (3x-4y)(3x+4y)$ применим формулы сокращенного умножения.
Уменьшаемое (квадрат разности): $(3x-4y)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(4y) + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$.
Вычитаемое (разность квадратов): $(3x-4y)(3x+4y) = (3x)^2 - (4y)^2 = 9x^2 - 16y^2$.
Выполним вычитание:
$(9x^2 - 24xy + 16y^2) - (9x^2 - 16y^2) = 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 9x^2 + 16y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 9x^2) - 24xy + (16y^2 + 16y^2) = -24xy + 32y^2$.
Ответ: $32y^2 - 24xy$.

з) Для упрощения выражения $(2a+6b)(6b-2a) - (2a+6b)^2$ применим формулы сокращенного умножения.
Уменьшаемое (разность квадратов): $(2a+6b)(6b-2a) = (6b+2a)(6b-2a) = (6b)^2 - (2a)^2 = 36b^2 - 4a^2$.
Вычитаемое (квадрат суммы): $(2a+6b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(6b) + (6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.
Выполним вычитание:
$(36b^2 - 4a^2) - (4a^2 + 24ab + 36b^2) = 36b^2 - 4a^2 - 4a^2 - 24ab - 36b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(36b^2 - 36b^2) + (-4a^2 - 4a^2) - 24ab = -8a^2 - 24ab$.
Ответ: $-8a^2 - 24ab$.