Номер 867, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 867, страница 175.

Условие.

867. Представьте в виде многочлена:

а) $2(x - 3)(x + 3);$
б) $y(y + 4)(y - 4);$
в) $5x(x + 2)(x - 2);$
г) $-3a (a + 5)(5 - a);$
д) $(0,5x - 7)(7 + 0,5x)(-4x);$
е) $-5y(-3y - 4)(3y - 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения, а именно разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

а) $2(x - 3)(x + 3)$

Сначала применим формулу разности квадратов к произведению скобок $(x - 3)(x + 3)$. Здесь $a=x$ и $b=3$.

$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Теперь умножим полученный многочлен на 2:

$2(x^2 - 9) = 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 9 = 2x^2 - 18$.

Ответ: $2x^2 - 18$.

б) $y(y + 4)(y - 4)$

Применим формулу разности квадратов к выражению $(y + 4)(y - 4)$. Здесь $a=y$ и $b=4$.

$(y + 4)(y - 4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16$.

Теперь умножим полученный результат на $y$:

$y(y^2 - 16) = y \cdot y^2 - y \cdot 16 = y^3 - 16y$.

Ответ: $y^3 - 16y$.

в) $5x(x + 2)(x - 2)$

Используем формулу разности квадратов для произведения $(x + 2)(x - 2)$. Здесь $a=x$ и $b=2$.

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Далее умножим полученный двучлен на $5x$:

$5x(x^2 - 4) = 5x \cdot x^2 - 5x \cdot 4 = 5x^3 - 20x$.

Ответ: $5x^3 - 20x$.

г) $-3a(a + 5)(5 - a)$

Чтобы применить формулу разности квадратов, заметим, что $(a + 5)(5 - a)$ можно записать как $(5 + a)(5 - a)$. Здесь $a=5$ и $b=a$.

$(5 + a)(5 - a) = 5^2 - a^2 = 25 - a^2$.

Теперь умножим результат на $-3a$:

$-3a(25 - a^2) = (-3a) \cdot 25 - (-3a) \cdot a^2 = -75a + 3a^3$.

Представим многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $3a^3 - 75a$.

Ответ: $3a^3 - 75a$.

д) $(0,5x - 7)(7 + 0,5x)(-4x)$

Переставим слагаемые во второй скобке: $(7 + 0,5x) = (0,5x + 7)$. Теперь выражение имеет вид $(0,5x - 7)(0,5x + 7)(-4x)$.

Применим формулу разности квадратов к произведению скобок. Здесь $a=0,5x$ и $b=7$.

$(0,5x - 7)(0,5x + 7) = (0,5x)^2 - 7^2 = 0,25x^2 - 49$.

Теперь умножим полученный результат на $(-4x)$:

$(0,25x^2 - 49)(-4x) = 0,25x^2 \cdot (-4x) - 49 \cdot (-4x) = -x^3 + 196x$.

Ответ: $-x^3 + 196x$.

е) $-5y(-3y - 4)(3y - 4)$

Вынесем знак минус из первой скобки: $(-3y - 4) = -(3y + 4)$.

Выражение примет вид: $-5y \cdot (-(3y + 4)) \cdot (3y - 4)$.

Упростим, умножив $-5y$ на $-1$: $5y(3y + 4)(3y - 4)$.

Теперь применим формулу разности квадратов к $(3y + 4)(3y - 4)$. Здесь $a=3y$ и $b=4$.

$(3y + 4)(3y - 4) = (3y)^2 - 4^2 = 9y^2 - 16$.

Наконец, умножим результат на $5y$:

$5y(9y^2 - 16) = 5y \cdot 9y^2 - 5y \cdot 16 = 45y^3 - 80y$.

Ответ: $45y^3 - 80y$.