Номер 873, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 873, страница 175.

Условие.

873. Упростите выражение:

а) $(x - 2)(x + 2) - x(x + 5);$

б) $m(m - 4) + (3 - m)(3 + m);$

в) $(4x - a)(4x + a) + 2x(x - a);$

г) $2a(a + b) - (2a + b)(2a - b);$

д) $(5a - 3c)(5a + 3c) - (7c - a)(7c + a);$

е) $(4b + 10c)(10c - 4b) + (-5c + 2b)(5c + 2b);$

ж) $(3x - 4y)^2 - (3x - 4y)(3x + 4y);$

з) $(2a + 6b)(6b - 2a) - (2a + 6b)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(x-2)(x+2) - x(x+5)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для первой части и распределительным законом для второй.
Применяем формулу разности квадратов к $(x-2)(x+2)$:
$(x-2)(x+2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Раскрываем скобки во второй части выражения:
$-x(x+5) = -x \cdot x - x \cdot 5 = -x^2 - 5x$.
Теперь объединим полученные результаты и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - 4) + (-x^2 - 5x) = x^2 - 4 - x^2 - 5x = (x^2 - x^2) - 5x - 4 = -5x - 4$.
Ответ: $-5x - 4$.

б) Для упрощения выражения $m(m-4) + (3-m)(3+m)$ раскроем скобки в каждом слагаемом.
Первое слагаемое: $m(m-4) = m^2 - 4m$.
Второе слагаемое является разностью квадратов: $(3-m)(3+m) = 3^2 - m^2 = 9 - m^2$.
Сложим полученные выражения:
$(m^2 - 4m) + (9 - m^2) = m^2 - 4m + 9 - m^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(m^2 - m^2) - 4m + 9 = -4m + 9$.
Ответ: $9 - 4m$.

в) Для упрощения выражения $(4x-a)(4x+a) + 2x(x-a)$ применим формулу разности квадратов и распределительный закон.
Первое слагаемое: $(4x-a)(4x+a) = (4x)^2 - a^2 = 16x^2 - a^2$.
Второе слагаемое: $2x(x-a) = 2x^2 - 2ax$.
Сложим результаты и приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 - a^2) + (2x^2 - 2ax) = 16x^2 - a^2 + 2x^2 - 2ax = (16x^2 + 2x^2) - 2ax - a^2 = 18x^2 - 2ax - a^2$.
Ответ: $18x^2 - 2ax - a^2$.

г) Для упрощения выражения $2a(a+b) - (2a+b)(2a-b)$ раскроем скобки.
Уменьшаемое: $2a(a+b) = 2a^2 + 2ab$.
Вычитаемое является разностью квадратов: $(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Выполним вычитание, раскрыв скобки:
$(2a^2 + 2ab) - (4a^2 - b^2) = 2a^2 + 2ab - 4a^2 + b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2a^2 - 4a^2) + 2ab + b^2 = -2a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ: $b^2 + 2ab - 2a^2$.

д) Для упрощения выражения $(5a-3c)(5a+3c) - (7c-a)(7c+a)$ воспользуемся формулой разности квадратов для обоих членов.
Уменьшаемое: $(5a-3c)(5a+3c) = (5a)^2 - (3c)^2 = 25a^2 - 9c^2$.
Вычитаемое: $(7c-a)(7c+a) = (7c)^2 - a^2 = 49c^2 - a^2$.
Выполним вычитание:
$(25a^2 - 9c^2) - (49c^2 - a^2) = 25a^2 - 9c^2 - 49c^2 + a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(25a^2 + a^2) + (-9c^2 - 49c^2) = 26a^2 - 58c^2$.
Ответ: $26a^2 - 58c^2$.

е) Для упрощения выражения $(4b+10c)(10c-4b) + (-5c+2b)(5c+2b)$ преобразуем множители для применения формулы разности квадратов.
Первое слагаемое: $(4b+10c)(10c-4b) = (10c+4b)(10c-4b) = (10c)^2 - (4b)^2 = 100c^2 - 16b^2$.
Второе слагаемое: $(-5c+2b)(5c+2b) = (2b-5c)(2b+5c) = (2b)^2 - (5c)^2 = 4b^2 - 25c^2$.
Сложим результаты:
$(100c^2 - 16b^2) + (4b^2 - 25c^2) = 100c^2 - 16b^2 + 4b^2 - 25c^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(100c^2 - 25c^2) + (-16b^2 + 4b^2) = 75c^2 - 12b^2$.
Ответ: $75c^2 - 12b^2$.

ж) Для упрощения выражения $(3x-4y)^2 - (3x-4y)(3x+4y)$ применим формулы сокращенного умножения.
Уменьшаемое (квадрат разности): $(3x-4y)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(4y) + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$.
Вычитаемое (разность квадратов): $(3x-4y)(3x+4y) = (3x)^2 - (4y)^2 = 9x^2 - 16y^2$.
Выполним вычитание:
$(9x^2 - 24xy + 16y^2) - (9x^2 - 16y^2) = 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 9x^2 + 16y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 9x^2) - 24xy + (16y^2 + 16y^2) = -24xy + 32y^2$.
Ответ: $32y^2 - 24xy$.

з) Для упрощения выражения $(2a+6b)(6b-2a) - (2a+6b)^2$ применим формулы сокращенного умножения.
Уменьшаемое (разность квадратов): $(2a+6b)(6b-2a) = (6b+2a)(6b-2a) = (6b)^2 - (2a)^2 = 36b^2 - 4a^2$.
Вычитаемое (квадрат суммы): $(2a+6b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(6b) + (6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.
Выполним вычитание:
$(36b^2 - 4a^2) - (4a^2 + 24ab + 36b^2) = 36b^2 - 4a^2 - 4a^2 - 24ab - 36b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(36b^2 - 36b^2) + (-4a^2 - 4a^2) - 24ab = -8a^2 - 24ab$.
Ответ: $-8a^2 - 24ab$.