Номер 866, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 866, страница 175.

Условие.

866. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если такое значение существует:

а) $(5a - 0,2)(0,2 + 5a)$;

б) $(12 - 7y)(7y + 12)$;

в) $(13a - 0,3)(0,3 + 13a)$;

г) $(10 - 9m)(9m + 10)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение выражения $(5a - 0,2)(0,2 + 5a)$, сначала упростим его. Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы привести выражение к виду формулы разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

$(5a - 0,2)(0,2 + 5a) = (5a - 0,2)(5a + 0,2) = (5a)^2 - (0,2)^2 = 25a^2 - 0,04$.

Теперь необходимо найти экстремумы для выражения $25a^2 - 0,04$.

Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательной величиной, то есть $a^2 \ge 0$. Соответственно, выражение $25a^2$ также всегда неотрицательно: $25a^2 \ge 0$.

Наименьшее значение, которое может принять $25a^2$, равно $0$. Это происходит, когда $a=0$. В этом случае выражение $25a^2 - 0,04$ принимает свое наименьшее значение: $25 \cdot 0^2 - 0,04 = 0 - 0,04 = -0,04$.

Поскольку $a^2$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $25a^2$ не ограничено сверху. Следовательно, у выражения $25a^2 - 0,04$ не существует наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение равно $-0,04$.

б) Упростим выражение $(12 - 7y)(7y + 12)$. Переставим слагаемые во второй скобке и применим формулу разности квадратов.

$(12 - 7y)(7y + 12) = (12 - 7y)(12 + 7y) = 12^2 - (7y)^2 = 144 - 49y^2$.

Рассмотрим полученное выражение $144 - 49y^2$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), поэтому вычитаемое $49y^2$ также всегда неотрицательно ($49y^2 \ge 0$).

Чтобы значение разности $144 - 49y^2$ было наибольшим, нужно из $144$ вычесть наименьшее возможное значение, которым является $0$. Это достигается при $y=0$.

Наибольшее значение выражения: $144 - 49 \cdot 0^2 = 144 - 0 = 144$.

Так как $y^2$ может быть сколь угодно большим, вычитаемое $49y^2$ также может быть сколь угодно большим. Это означает, что разность $144 - 49y^2$ может принимать сколь угодно малые (большие по модулю отрицательные) значения. Следовательно, наименьшего значения у выражения не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $144$.

в) Упростим выражение $(13a - 0,3)(0,3 + 13a)$, используя формулу разности квадратов. Для этого переставим слагаемые во второй скобке: $(13a - 0,3)(13a + 0,3)$.

$(13a - 0,3)(13a + 0,3) = (13a)^2 - (0,3)^2 = 169a^2 - 0,09$.

Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$). Значит, наименьшее значение слагаемого $169a^2$ равно $0$ и достигается при $a=0$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $169a^2 - 0,09$ равно: $169 \cdot 0^2 - 0,09 = -0,09$.

Так как $a^2$ может быть сколь угодно большим, выражение не имеет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение равно $-0,09$.

г) Упростим выражение $(10 - 9m)(9m + 10)$ по формуле разности квадратов. Переставим слагаемые во второй скобке: $(10 - 9m)(10 + 9m)$.

$(10 - 9m)(10 + 9m) = 10^2 - (9m)^2 = 100 - 81m^2$.

Рассмотрим выражение $100 - 81m^2$. Вычитаемое $81m^2$ всегда неотрицательно, так как $m^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $m=0$.

Чтобы разность была максимальной, вычитаемое должно быть минимальным. Таким образом, наибольшее значение выражения достигается при $m=0$: $100 - 81 \cdot 0^2 = 100$.

Наименьшего значения не существует, так как $81m^2$ может быть сколь угодно большим, а значит, значение всего выражения может быть сколь угодно малым (большим по модулю отрицательным числом).

Ответ: наибольшее значение равно $100$.