Номер 870, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 870, страница 175.

Условие.

870. Упростите выражение:

а) $(0,8x + 15)(0,8x - 15) + 0,36x^2;$

б) $5b^2 + (3 - 2b)(3 + 2b);$

в) $2x^2 - (x + 1)(x - 1);$

г) $(3a - 1)(3a + 1) - 17a^2;$

д) $100x^2 - (5x - 4)(4 + 5x);$

е) $22c^2 + (-3c - 7)(3c - 7).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(0,8x + 15)(0,8x - 15) + 0,36x^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = 0,8x$ и $b = 15$.
Применяем формулу к произведению скобок:
$(0,8x)^2 - 15^2 + 0,36x^2 = 0,64x^2 - 225 + 0,36x^2$
Теперь приведем подобные слагаемые, содержащие $x^2$:
$(0,64 + 0,36)x^2 - 225 = 1x^2 - 225 = x^2 - 225$
Ответ: $x^2 - 225$

б) Для упрощения выражения $5b^2 + (3 - 2b)(3 + 2b)$ используем ту же формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 3$ и $b = 2b$.
Применяем формулу:
$5b^2 + (3^2 - (2b)^2) = 5b^2 + (9 - 4b^2)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$5b^2 + 9 - 4b^2 = (5-4)b^2 + 9 = b^2 + 9$
Ответ: $b^2 + 9$

в) Упростим выражение $2x^2 - (x + 1)(x - 1)$. Произведение $(x + 1)(x - 1)$ также является разностью квадратов.
Здесь $a = x$ и $b = 1$.
$2x^2 - (x^2 - 1^2) = 2x^2 - (x^2 - 1)$
Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки внутри скобок меняются на противоположные:
$2x^2 - x^2 + 1 = (2 - 1)x^2 + 1 = x^2 + 1$
Ответ: $x^2 + 1$

г) Упростим выражение $(3a - 1)(3a + 1) - 17a^2$. Снова применяем формулу разности квадратов для произведения $(3a - 1)(3a + 1)$.
Здесь $a = 3a$ и $b = 1$.
$((3a)^2 - 1^2) - 17a^2 = (9a^2 - 1) - 17a^2$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$9a^2 - 1 - 17a^2 = (9 - 17)a^2 - 1 = -8a^2 - 1$
Ответ: $-8a^2 - 1$

д) Упростим выражение $100x^2 - (5x - 4)(4 + 5x)$. Для удобства применения формулы, поменяем слагаемые местами во второй скобке: $(4+5x) = (5x+4)$.
Теперь выражение имеет вид $100x^2 - (5x - 4)(5x + 4)$. Применяем формулу разности квадратов, где $a = 5x$ и $b = 4$.
$100x^2 - ((5x)^2 - 4^2) = 100x^2 - (25x^2 - 16)$
Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри:
$100x^2 - 25x^2 + 16 = (100 - 25)x^2 + 16 = 75x^2 + 16$
Ответ: $75x^2 + 16$

е) Упростим выражение $22c^2 + (-3c - 7)(3c - 7)$. Преобразуем произведение в скобках. Вынесем знак минус из первой скобки: $(-3c - 7) = -(3c + 7)$.
Получим: $22c^2 - (3c + 7)(3c - 7)$.
Теперь произведение $(3c + 7)(3c - 7)$ является разностью квадратов, где $a = 3c$ и $b = 7$.
$22c^2 - ((3c)^2 - 7^2) = 22c^2 - (9c^2 - 49)$
Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри:
$22c^2 - 9c^2 + 49 = (22 - 9)c^2 + 49 = 13c^2 + 49$
Ответ: $13c^2 + 49$