Номер 869, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 869, страница 175.

Условие.

869. Выполните умножение:

а) $(b - 2)(b + 2)(b^2 + 4);$

б) $(3 - y)(3 + y)(9 + y^2);$

в) $(a^2 + 1)(a + 1)(a - 1);$

г) $(c^4 + 1)(c^2 + 1)(c^2 - 1);$

д) $(x - 3)^2(x + 3)^2;$

е) $(y + 4)^2(y - 4)^2;$

ж) $(a - 5)^2(5 + a)^2;$

з) $(c + 4)^2(4 - c)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(b - 2)(b + 2)(b^2 + 4)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Сначала умножим первые две скобки:

$(b - 2)(b + 2) = b^2 - 2^2 = b^2 - 4$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(b^2 - 4)(b^2 + 4)$

Мы снова получили выражение, к которому можно применить формулу разности квадратов:

$(b^2 - 4)(b^2 + 4) = (b^2)^2 - 4^2 = b^4 - 16$

Ответ: $b^4 - 16$

б) $(3 - y)(3 + y)(9 + y^2)$

Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям:

$(3 - y)(3 + y) = 3^2 - y^2 = 9 - y^2$

Теперь выражение выглядит так:

$(9 - y^2)(9 + y^2)$

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(9 - y^2)(9 + y^2) = 9^2 - (y^2)^2 = 81 - y^4$

Ответ: $81 - y^4$

в) $(a^2 + 1)(a + 1)(a - 1)$

Удобнее сначала перемножить последние две скобки, используя формулу разности квадратов:

$(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$(a^2 + 1)(a^2 - 1)$

Еще раз применим формулу разности квадратов:

$(a^2 + 1)(a^2 - 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$

Ответ: $a^4 - 1$

г) $(c^4 + 1)(c^2 + 1)(c^2 - 1)$

Сначала перемножим последние два множителя по формуле разности квадратов:

$(c^2 + 1)(c^2 - 1) = (c^2)^2 - 1^2 = c^4 - 1$

Теперь выражение принимает вид:

$(c^4 + 1)(c^4 - 1)$

И вновь используем ту же формулу:

$(c^4 + 1)(c^4 - 1) = (c^4)^2 - 1^2 = c^8 - 1$

Ответ: $c^8 - 1$

д) $(x - 3)^2(x + 3)^2$

Воспользуемся свойством степени: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$(x - 3)^2(x + 3)^2 = ((x - 3)(x + 3))^2$

Внутри скобок применим формулу разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

Теперь нужно возвести полученное выражение в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$

Ответ: $x^4 - 18x^2 + 81$

е) $(y + 4)^2(y - 4)^2$

Используем свойство степени $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$(y + 4)^2(y - 4)^2 = ((y + 4)(y - 4))^2$

Внутри скобок применяем формулу разности квадратов:

$(y + 4)(y - 4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16$

Возводим результат в квадрат по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(y^2 - 16)^2 = (y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 16 + 16^2 = y^4 - 32y^2 + 256$

Ответ: $y^4 - 32y^2 + 256$

ж) $(a - 5)^2(5 + a)^2$

Переставим слагаемые во второй скобке: $(5 + a) = (a + 5)$. Выражение примет вид:

$(a - 5)^2(a + 5)^2$

Применим свойство степени $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$((a - 5)(a + 5))^2$

Применим формулу разности квадратов для выражения в скобках:

$(a - 5)(a + 5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$

Возведем результат в квадрат по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(a^2 - 25)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 - 50a^2 + 625$

Ответ: $a^4 - 50a^2 + 625$

з) $(c + 4)^2(4 - c)^2$

Заметим, что $(4 - c)^2 = (-(c - 4))^2 = (-1)^2(c - 4)^2 = (c - 4)^2$. Тогда выражение можно переписать как:

$(c + 4)^2(c - 4)^2$

Используем свойство степени $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$((c + 4)(c - 4))^2$

Внутри скобок получаем разность квадратов:

$(c + 4)(c - 4) = c^2 - 4^2 = c^2 - 16$

Теперь возведем результат в квадрат:

$(c^2 - 16)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 16 + 16^2 = c^4 - 32c^2 + 256$

Ответ: $c^4 - 32c^2 + 256$