Номер 871, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 871, страница 175.

Условие.

871. Упростите:

а) $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$;

б) $(2a + b)(4a^2 + b^2)(2a - b)$;

в) $(c^3 + b)(c^3 - b)(c^6 + b^2);$

г) $(3m - 2)(3m + 2) + 4;$

д) $25n^2 - (7 + 5n)(7 - 5n);$

е) $6x^2 - (x - 0,5)(x + 0,5).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) В выражении $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$ мы дважды применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Сначала применим её к первым двум множителям: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Теперь выражение принимает вид: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.
Снова используем формулу разности квадратов, где в роли $a$ выступает $x^2$, а в роли $b$ — $y^2$:
$(x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.
Ответ: $x^4 - y^4$

б) В выражении $(2a + b)(4a^2 + b^2)(2a - b)$ для удобства поменяем местами второй и третий множители: $(2a + b)(2a - b)(4a^2 + b^2)$.
Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(2a + b)(2a - b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Получим выражение: $(4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)$.
Еще раз применим формулу разности квадратов: $(4a^2)^2 - (b^2)^2 = 16a^4 - b^4$.
Ответ: $16a^4 - b^4$

в) Упростим выражение $(c^3 + b)(c^3 - b)(c^6 + b^2)$.
Сначала раскроем первые две скобки по формуле разности квадратов: $(c^3 + b)(c^3 - b) = (c^3)^2 - b^2 = c^6 - b^2$.
Теперь выражение выглядит так: $(c^6 - b^2)(c^6 + b^2)$.
Снова применяем ту же формулу: $(c^6)^2 - (b^2)^2 = c^{12} - b^4$.
Ответ: $c^{12} - b^4$

г) В выражении $(3m - 2)(3m + 2) + 4$ сначала упростим произведение скобок, используя формулу разности квадратов.
$(3m - 2)(3m + 2) = (3m)^2 - 2^2 = 9m^2 - 4$.
Подставим результат в исходное выражение: $(9m^2 - 4) + 4$.
Сложим числа: $9m^2 - 4 + 4 = 9m^2$.
Ответ: $9m^2$

д) В выражении $25n^2 - (7 + 5n)(7 - 5n)$ сначала раскроем скобки, применив формулу разности квадратов. Обратите внимание, что можно поменять слагаемые в первой скобке, но результат будет тот же: $(7 + 5n)(7 - 5n) = 7^2 - (5n)^2 = 49 - 25n^2$.
Подставим полученное выражение в исходное: $25n^2 - (49 - 25n^2)$.
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные: $25n^2 - 49 + 25n^2$.
Приведем подобные слагаемые: $25n^2 + 25n^2 - 49 = 50n^2 - 49$.
Ответ: $50n^2 - 49$

е) Упростим выражение $6x^2 - (x - 0,5)(x + 0,5)$.
Для произведения в скобках применим формулу разности квадратов: $(x - 0,5)(x + 0,5) = x^2 - (0,5)^2 = x^2 - 0,25$.
Подставим результат в исходное выражение: $6x^2 - (x^2 - 0,25)$.
Раскроем скобки: $6x^2 - x^2 + 0,25$.
Приведем подобные слагаемые: $5x^2 + 0,25$.
Ответ: $5x^2 + 0,25$